Determinare applicazione lineare
Ciao ragazzi,
vi chiedo se sapete gentilmente risolvere questo esercizio. Data $F(x, y, z)=(x-4y-2z, -x, z)$, si determini se possibile un'applicazione lineare $G:R^3 \rightarrow R^3$ tale che $G \circ F$ sia l'identità.
Grazie a tutti anticipatamente
vi chiedo se sapete gentilmente risolvere questo esercizio. Data $F(x, y, z)=(x-4y-2z, -x, z)$, si determini se possibile un'applicazione lineare $G:R^3 \rightarrow R^3$ tale che $G \circ F$ sia l'identità.
Grazie a tutti anticipatamente
Risposte
Ciao,
intanto secondo te esiste una tale $G$?
intanto secondo te esiste una tale $G$?
"Shocker":
Ciao,
intanto secondo te esiste una tale $G$?
Bella domanda
Sinceramente non saprei
Se dimostri che $F$ è bigettiva allora $G$ coincide con l'inversa di $F$, sebbene non sia strettamente necessario osservare che $F$ è invertibile, ti invito comunque a dimostrare che $F$ è bigettiva.
Comunque puoi trovare direttamente $G$ in tanti modi, vediamone uno: $F(x, y, z) = (x - 4y - 2z, -x, z)$ vuol dire che $\{(u = x - 4y - 2z),(v = -x),(w = z):}$, se ricavi $(x, y, z)$ in funzione di $(u, v, w)$ hai automaticamente trovato $G$.
Se conosci la definizione di matrice associata a una applicazione lineare potresti provare a risolvere l'esercizio lavorando con la matrice associata ad $F$ rispetto alla base canonica[nota]base canonica per comodità, va bene una qualsiasi altra base[/nota].
Attendo una tua soluzione.
Comunque puoi trovare direttamente $G$ in tanti modi, vediamone uno: $F(x, y, z) = (x - 4y - 2z, -x, z)$ vuol dire che $\{(u = x - 4y - 2z),(v = -x),(w = z):}$, se ricavi $(x, y, z)$ in funzione di $(u, v, w)$ hai automaticamente trovato $G$.
Se conosci la definizione di matrice associata a una applicazione lineare potresti provare a risolvere l'esercizio lavorando con la matrice associata ad $F$ rispetto alla base canonica[nota]base canonica per comodità, va bene una qualsiasi altra base[/nota].
Attendo una tua soluzione.
"Shocker":
Se dimostri che $F$ è bigettiva allora $G$ coincide con l'inversa di $F$, sebbene non sia strettamente necessario osservare che $F$ è invertibile, ti invito comunque a dimostrare che $F$ è bigettiva.
Comunque puoi trovare direttamente $G$ in tanti modi, vediamone uno: $F(x, y, z) = (x - 4y - 2z, -x, z)$ vuol dire che $\{(u = x - 4y - 2z),(v = -x),(w = z):}$, se ricavi $(x, y, z)$ in funzione di $(u, v, w)$ hai automaticamente trovato $G$.
Fin qui chiarissimo!!
"Shocker":
Se conosci la definizione di matrice associata a una applicazione lineare potresti provare a risolvere l'esercizio lavorando con la matrice associata ad $F$ rispetto alla base canonica[nota]base canonica per comodità, va bene una qualsiasi altra base[/nota].
Attendo una tua soluzione.
Sì, in questo caso la matrice associata alla base canonica è $((1,-4,-2),(-1,0,0),(0,0,1))$ Ma cosa intendi per lavorare sulla matrice? Cioè partendo da essa come posso ricavarne un'altra applicazione lineare che soddisfi quelle condizioni?
E' molto semplice: fissata la canonica il problema si sposta sullo spazio delle coordinate indotte dalla base, d'ora in poi quindi lavoreremo con le coordinate e non con i vettori di partenza. Siano quindi $X, Y$ i vettori di coordinate tali che $AX = Y$, cioè $Y$ è un generico elemento nello spazio di coordinate dell'immagine di $F$ e $X$ è una sua immagine, ora se $A$ è invertibile riusciamo a scrivere $A^-1Y = X$, a questo punto la mappa lineare che ha $A^-1$ come matrice associata rispetto alla canonica è la tua $G$, riportando tutto indietro negli spazi vettoriali ottieni l'espressione di $G$.
Occhio che qui abbiamo sfruttato pesantemente il fatto che $F$ sia invertibile, la condizione $G \circ F = Id$ ci dice che $G$ è una[nota]In generale non è unica[/nota] inversa sinistra di $F$, che esiste solo se $F$ è iniettiva: nel tuo particolarissimo esercizio $F$ è iniettiva e dunque bigettiva(perché?) e quindi l'inversa sinistra è unica e coincide con l'inversa di $F$.
Potresti provare a pensare al seguente problema: sia $f : \mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}$ una applicazione lineare iniettiva, esiste una mappa lineare $g: \mathbb{R^m} \to \mathbb{R^n}$ tale che $g \circ f = Id_\mathbb{R^n}$, se sì, riesci a trovarne esplicitamente una?
Occhio che qui abbiamo sfruttato pesantemente il fatto che $F$ sia invertibile, la condizione $G \circ F = Id$ ci dice che $G$ è una[nota]In generale non è unica[/nota] inversa sinistra di $F$, che esiste solo se $F$ è iniettiva: nel tuo particolarissimo esercizio $F$ è iniettiva e dunque bigettiva(perché?) e quindi l'inversa sinistra è unica e coincide con l'inversa di $F$.
Potresti provare a pensare al seguente problema: sia $f : \mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}$ una applicazione lineare iniettiva, esiste una mappa lineare $g: \mathbb{R^m} \to \mathbb{R^n}$ tale che $g \circ f = Id_\mathbb{R^n}$, se sì, riesci a trovarne esplicitamente una?
"Shocker":
E' molto semplice: fissata la canonica il problema si sposta sullo spazio delle coordinate indotte dalla base, d'ora in poi quindi lavoreremo con le coordinate e non con i vettori di partenza. Siano quindi $X, Y$ i vettori di coordinate tali che $AX = Y$, cioè $Y$ è un generico elemento nello spazio di coordinate dell'immagine di $F$ e $X$ è una sua immagine, ora se $A$ è invertibile riusciamo a scrivere $A^-1Y = X$, a questo punto la mappa lineare che ha $A^-1$ come matrice associata rispetto alla canonica è la tua $G$, riportando tutto indietro negli spazi vettoriali ottieni l'espressione di $G$.
Occhio che qui abbiamo sfruttato pesantemente il fatto che $F$ sia invertibile, la condizione $G \circ F = Id$ ci dice che $G$ è una[nota]In generale non è unica[/nota] inversa sinistra di $F$, che esiste solo se $F$ è iniettiva: nel tuo particolarissimo esercizio $F$ è iniettiva e dunque bigettiva(perché?) e quindi l'inversa sinistra è unica e coincide con l'inversa di $F$.
Potresti provare a pensare al seguente problema: sia $f : \mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}$ una applicazione lineare iniettiva, esiste una mappa lineare $g: \mathbb{R^m} \to \mathbb{R^n}$ tale che $g \circ f = Id_\mathbb{R^n}$, se sì, riesci a trovarne esplicitamente una?
Mmmmm guarda ti dico la verità: mi rimane difficile comprenderlo sotto questo aspetto teorico...in realtà credevo ci fosse un metodo più intuitivo per risolvere questo tipo di esercizi. A questo punto credo che dovrò studiarmi anche questi punti della teoria....
Traduzione. Se il ker(F) è composto solo dal vettore nullo, allora l'applicazione è biettiva, ovvero invertibile.
Calcola il det(F) e se è diverso da zero, allora hai dimostrato che puoi invertirla, quindi $G=F^(-1)$
Calcola il det(F) e se è diverso da zero, allora hai dimostrato che puoi invertirla, quindi $G=F^(-1)$
"Bokonon":
Traduzione. Se il ker(F) è composto solo dal vettore nullo, allora l'applicazione è biettiva, ovvero invertibile.
Calcola il det(F) e se è diverso da zero, allora hai dimostrato che puoi invertirla, quindi $G=F^(-1)$
Ok chiarissimo! Nel caso in cui, invece, F non fosse invertibile, c'è un modo pratico per risolverlo??
Grazie
"Bokonon":
#-o
??
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