Determinare applicazione lineare

[Stella1297]

Salve a tutti, non so proprio come risolvere questo esercizio . Dati $V=<(0,1,-1,0),(1,-1,-1,1),(0,0,1,2)>$ e $W={(x_1,x_2,x_3,x_4) in R^4$ / $ x_1 - x_2= x_3 +2x_4 = 0}$.
Scrivere un applicazione lineare $f:V->W$.
Qualcuno può aiutarmi?

[Bokonon]

Comincia col trovare chi è W. Dalla definizione data è tale che...
$ A=( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 2 ) ) ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ),( x_4 ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Quindi trova il nucleo di A e troverai i vettori che generano W, ovvero una base per W.

[Stella1297]

Trovata una base di W poi come devo procedere?

[Bokonon]

"Stell12":Trovata una base di W poi come devo procedere?

Ragionando
Non ci sono vincoli fra V e W quindi V è irrilevante.
La trasformazione è una F matrice 4x4 e W è la sua immagine...ergo quali saranno forzatamente due delle colonne di F? E che rango deve avere F per "schiacciare" $R^4$ in un piano di $R^4$?

[Stella1297]

Quindi la base di W è l'immagine di f e saranno due colonne della matrice 4x4, basta aggiungere altri due vettori che saranno il nucleo?

[Bokonon]

"Stell12":Quindi la base di W è l'immagine di f e saranno due colonne della matrice 4x4, basta aggiungere altri due vettori che saranno il nucleo?

No
La matrice F deve avere rango 2. Perciò metti i due vettori che generano W nelle prime due colonne e poi aggiungi altre due colonne che siano comb. lineari (a piacere) delle prime due (non mettere tutti zeri....è brutto)

[Stella1297]

Ahh ok. Grazie mille per il tuo aiuto

[Bokonon]

"Stell12":Ahh ok. Grazie mille per il tuo aiuto

Prego.
Spero farai qualche test...prevedendo anche le combinazioni lineare della base di W che crea le colonne in output di F*V