Determinare antiimmagine di un vettore mediante un endomorfismo
Buonasera a tutti, sempre da un vecchio tema d'esame ho trovato questo esercizio:
Sia $ L_a $ l'endomorfismo di $ R^3 $ tale che $ L_a(0,1,1)=(1,a+1,2) , L_a(1,1,0)=(1,a,1), L_a(1,1,1)=(2,a+2,4) $ . Determinare l'antiimmagine del vettore $ (1,2,2) $ mediante l'endomorfismo $ L_a $, al variare del parametro $a in R$
So che dovrei provare almeno ad abbozzare una risoluzione dell'esercizio , ma in questo caso non ho proprio la minima idea di come fare e da dove incominciare.
Se qualcuno è capace di farlo e ha la buona volontà di spiegarmelo gliene sarei infinitamente grato
!
Grazie.
Sia $ L_a $ l'endomorfismo di $ R^3 $ tale che $ L_a(0,1,1)=(1,a+1,2) , L_a(1,1,0)=(1,a,1), L_a(1,1,1)=(2,a+2,4) $ . Determinare l'antiimmagine del vettore $ (1,2,2) $ mediante l'endomorfismo $ L_a $, al variare del parametro $a in R$
So che dovrei provare almeno ad abbozzare una risoluzione dell'esercizio , ma in questo caso non ho proprio la minima idea di come fare e da dove incominciare.
Se qualcuno è capace di farlo e ha la buona volontà di spiegarmelo gliene sarei infinitamente grato
!Grazie.
Risposte
ciao,
data un applicazione $ F:V\mapstoW $
la controimmagine di un vettore w è definita come l'insieme dei vettori $v$ tale che vengano mappati in $w$ tramite F
$ F^{-1}(w) ={v \in V| F(v)=w} $ ...
Si procede così:
-scrivi la matrice associata all'applicazione lineare, che nel tuo caso dipende dal parametro.
$ L $ sarà tale matrice
-per determinare gli elementi del dominio tali che essi vengano mappati in $w$, è sufficiente risolvere il sistema lineare:
$A*(vec(x)) = vec(w)$
Per esempio, se noi volessimo calcolare la controimmagine di un vettore $ vec(v) =(1,2) $ mediante l'applicazione lineare $ zeta : R^2 rarr R^2, (x,y)\mapsto(2x,y) $ sarà sufficiente calcolare le soluzioni del seguente sistema lineare:
$ [ ( 2 , 1 ),( 0 , 1 ) ] [ ( x ),( y ) ] = [(1),(2)] $
in questo modo troverai quei vettori del dominio ($R^{2}$)che tramite $zeta$ sono mappati in w
data un applicazione $ F:V\mapstoW $
la controimmagine di un vettore w è definita come l'insieme dei vettori $v$ tale che vengano mappati in $w$ tramite F
$ F^{-1}(w) ={v \in V| F(v)=w} $ ...
Si procede così:
-scrivi la matrice associata all'applicazione lineare, che nel tuo caso dipende dal parametro.
$ L $ sarà tale matrice
-per determinare gli elementi del dominio tali che essi vengano mappati in $w$, è sufficiente risolvere il sistema lineare:
$A*(vec(x)) = vec(w)$
Per esempio, se noi volessimo calcolare la controimmagine di un vettore $ vec(v) =(1,2) $ mediante l'applicazione lineare $ zeta : R^2 rarr R^2, (x,y)\mapsto(2x,y) $ sarà sufficiente calcolare le soluzioni del seguente sistema lineare:
$ [ ( 2 , 1 ),( 0 , 1 ) ] [ ( x ),( y ) ] = [(1),(2)] $
in questo modo troverai quei vettori del dominio ($R^{2}$)che tramite $zeta$ sono mappati in w
grazie feddy! Non mi è chiaro però come trovare la matrice associata. Per esempio nel tuo esempio come hai trovato la matrice $ [ ( 2 , 1 ),( 0 , 1 ) ] $ ?
Inoltre quando dici di risolvere $ A*(vec(x)) = vec(w) $ che matrice sarebbe $ A $ ?
Inoltre quando dici di risolvere $ A*(vec(x)) = vec(w) $ che matrice sarebbe $ A $ ?
A è la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche...
L'ho trovata semplicemente vedendo come venivano mappati gli elementi della base canonica $ zeta(e_{1}), zeta(e_{2}) $... tutto qui !
Ti faccio notare che l'applicazione deve essere riferita rispetto alle basi canoniche... e pertanto non sai come agisce sugli elementi della base canonica... conoscendo le linearità dell'applicazione: $f(a+b)= f(a) + f(b)$ e notando che $(1,0,0)=(1,1,1) -(0,1,1)$ possiamo scrivere la relazione: $ L(1,0,0)= L(1,1,1) - (0,1,1) $ ... puoi ricavarti analogamente le altre due immagini, scrivere la matrice associata... e si tratterà di applicare Rouchè-Capelli, studiando la compatibilità di un sistema lineare parametrico
L'ho trovata semplicemente vedendo come venivano mappati gli elementi della base canonica $ zeta(e_{1}), zeta(e_{2}) $... tutto qui !
Ti faccio notare che l'applicazione deve essere riferita rispetto alle basi canoniche... e pertanto non sai come agisce sugli elementi della base canonica... conoscendo le linearità dell'applicazione: $f(a+b)= f(a) + f(b)$ e notando che $(1,0,0)=(1,1,1) -(0,1,1)$ possiamo scrivere la relazione: $ L(1,0,0)= L(1,1,1) - (0,1,1) $ ... puoi ricavarti analogamente le altre due immagini, scrivere la matrice associata... e si tratterà di applicare Rouchè-Capelli, studiando la compatibilità di un sistema lineare parametrico
fammi sapere se ti tornano i conti ... 
$L(1,0,0)= L(1,1,1)-L(0,1,1) = (1,1,2),$
$L(0,0,1)=L(1,1,1)-L(1,1,0)= (2,2,3),$
$L(0,1,0)=L(1,1,0)-L(1,0,0)+L(0,0,1) = (2,a+1,2) $
Scriviamo la matrice associata $\xi $=$ [ ( 1 , 2 , 2 ),( 2 , a+1 , 2 ),( 2 , 2 , 3 ) ] $
Dobbiamo vedere per quale valore di $a$ vale:
$\xi$ =$ [ ( 1 , 2 , 2 ),( 2 , a+1 , 2 ),( 2 , 2 , 3 ) ] *[(x),(y),(z)]= [(1),(2),(2)] $
Studiando il determinante della matrice $\xi$, notiamo che esso vale $1-a$, pertanto se $a!=1$ il sistema ammette una sola soluzione.
Prendiamo la matrice completa(ossia quella di prima ma con la colonna dei termini noti) e, al variare di $a$, determiniamone le soluzioni
$ \phi= [ ( 1,2,2,1),( 1,a+1,2,2 ),( 2,2,3,2) ] $
Io ho ottenuto :
$x=(a+1)/(a-1)$
$y=1/(a-1)$
$z=-2/(a-1)$, per $a!=1$
Pertanto l'endomorfismo $ L_{\alpha}: (x,y,z)=(x+2y+2z,x+(a+1)y+2z,2x+2y+3z) $ manda il vettore $vec(v)=( (a+1)/(a-1),1/(a+1), -2/(a-1))$ nel vettore $vec(w) = (1,2,2) AA alpha\inR |\alpha!=1 $
Nel caso in cui $alpha =1$, studiando il sistema abbiamo $ oo ^{1} $ soluzioni, del tipo: $<(1,0,-2)>$
Notte !
$L(1,0,0)= L(1,1,1)-L(0,1,1) = (1,1,2),$
$L(0,0,1)=L(1,1,1)-L(1,1,0)= (2,2,3),$
$L(0,1,0)=L(1,1,0)-L(1,0,0)+L(0,0,1) = (2,a+1,2) $
Scriviamo la matrice associata $\xi $=$ [ ( 1 , 2 , 2 ),( 2 , a+1 , 2 ),( 2 , 2 , 3 ) ] $
Dobbiamo vedere per quale valore di $a$ vale:
$\xi$ =$ [ ( 1 , 2 , 2 ),( 2 , a+1 , 2 ),( 2 , 2 , 3 ) ] *[(x),(y),(z)]= [(1),(2),(2)] $
Studiando il determinante della matrice $\xi$, notiamo che esso vale $1-a$, pertanto se $a!=1$ il sistema ammette una sola soluzione.
Prendiamo la matrice completa(ossia quella di prima ma con la colonna dei termini noti) e, al variare di $a$, determiniamone le soluzioni
$ \phi= [ ( 1,2,2,1),( 1,a+1,2,2 ),( 2,2,3,2) ] $
Io ho ottenuto :
$x=(a+1)/(a-1)$
$y=1/(a-1)$
$z=-2/(a-1)$, per $a!=1$
Pertanto l'endomorfismo $ L_{\alpha}: (x,y,z)=(x+2y+2z,x+(a+1)y+2z,2x+2y+3z) $ manda il vettore $vec(v)=( (a+1)/(a-1),1/(a+1), -2/(a-1))$ nel vettore $vec(w) = (1,2,2) AA alpha\inR |\alpha!=1 $
Nel caso in cui $alpha =1$, studiando il sistema abbiamo $ oo ^{1} $ soluzioni, del tipo: $<(1,0,-2)>$
Notte !
ciao feddy, grazie per la risposta. Rivedendo i passaggi ci sono alcune cose che non mi tornano
ho ricalcolato L(1,0,0), L(0,1,0), L(0,0,1) e mi è uscito:
$ L(1,0,0)= L(1,1,1)-L(0,1,1) = (1,1,2) $
$ L(0,0,1)=L(1,1,1)-L(1,1,0)= (1,2,3) $
$ L(0,1,0)=L(1,1,0)-L(1,0,0) = (0,a-1,-1) $ in questo punto non ho capito come mai avevi sommato anche L(0,0,1)
Poi , quando hai calcolato la matrice associata non ho capito se li hai disposti in riga oppure in colonna.
fammi sapere che poi provo a risolverlo
ho ricalcolato L(1,0,0), L(0,1,0), L(0,0,1) e mi è uscito:
$ L(1,0,0)= L(1,1,1)-L(0,1,1) = (1,1,2) $
$ L(0,0,1)=L(1,1,1)-L(1,1,0)= (1,2,3) $
$ L(0,1,0)=L(1,1,0)-L(1,0,0) = (0,a-1,-1) $ in questo punto non ho capito come mai avevi sommato anche L(0,0,1)
Poi , quando hai calcolato la matrice associata non ho capito se li hai disposti in riga oppure in colonna.
fammi sapere che poi provo a risolverlo
ops, ho commesso un banale errore nei conti 
Probabilmente l'aver risposto alle 3:15 ha avuto le sue conseguenze ahah !
Li ho disposti per colonna !
Probabilmente l'aver risposto alle 3:15 ha avuto le sue conseguenze ahah !Li ho disposti per colonna !
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