Determinante di matrice dopo m-esimo scambio di righe

[smaug1]

Ragazzi ho un dubbio su una proprietà delle matrici. Se io ho una matrice $A$, ed attraverso Gauss la riduco a scala, usando le operazioni elementari, ottengo una matrice triangolare superiore $A'$ equivalente (con le stesse soluzioni). Se nelle operazioni elementari che ho usato, c'è anche la permutazione, ovvero lo scambio di righe, il determinante di $A$ è uguale ma con segno opposto al determinante di $A'$. Da quello che ho usato credo di aver capito che se il numero dello scambio di righe, permutazioni, che ho fatto è pari, allora il determinante di $A'$ è identito, se invece è dispari allora ci va il meno davanti.

Dovrebbe essere chiaro che se io permuto ad esempio la prima riga con la seconda e poi la seconda con la prima, è vero che ho effettuato un numero pari di permutazioni, ma è ovvio che il determinante non può che essere uguale, essendo rimasta uguale la matrice.

Mentre non ho capito dal libro se tutto ciò, ovvero fare permutazioni pari, qualsiasi siano le righe, mi dia lo stesso determinante in segno e in modulo...spero di essere stato chiaro abbastanza.

Cioè se $A'$ la ottengo attraverso lo scambio della prima con la seconda, dopo qualche operazione, scambio la terza con la prima, e dopo qualche operazione, scambio la seconda con la terza...

Grazie

[Quinzio]

Dopo m scambi di righe il determinante è $det(A')=(-1)^m det(A)$.
Non mi sembra nulla di oscuro.

[smaug1]

"Quinzio":Dopo m scambi di righe il determinante è $det(A')=(-1)^m det(A)$.
Non mi sembra nulla di oscuro.

Perfetto proprio questo volevo sapere