Determinante cambio base
Buongiorno a tutti, ho il seguente problema:
Sapendo che $A = (v, v_2,v_3)$ e det(A) = -1/5 , calcolare
$det(3v_3 - 2v_2, v_1 + 4v_3, 2v_1 - 3v_2)$.
Ho visto che, calcolando il determinante della matrice dei vettori rispetto a $(v_1,v_2,v_3)$ ottengo:
$$
{\mathcal B} = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
-2 & 0 & -3 \\
3 & 4 & 0
\end{array}
\right)
$$
il cui determinante è -25.
se faccio (-1/5)(-25) ottengo 5 che è il risultato del problema ma non so perché si deve fare così. Qualcuno può spiegarmelo? Grazie a tutti.
Sapendo che $A = (v, v_2,v_3)$ e det(A) = -1/5 , calcolare
$det(3v_3 - 2v_2, v_1 + 4v_3, 2v_1 - 3v_2)$.
Ho visto che, calcolando il determinante della matrice dei vettori rispetto a $(v_1,v_2,v_3)$ ottengo:
$$
{\mathcal B} = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
-2 & 0 & -3 \\
3 & 4 & 0
\end{array}
\right)
$$
il cui determinante è -25.
se faccio (-1/5)(-25) ottengo 5 che è il risultato del problema ma non so perché si deve fare così. Qualcuno può spiegarmelo? Grazie a tutti.
Risposte
Per favore ..... qualcuno mi aiuti.
"ricca":
Buongiorno a tutti, ho il seguente problema:
Sapendo che $A = (v, v_2,v_3)$ e det(A) = -1/5 , calcolare
$det(3v_3 - 2v_2, v_1 + 4v_3, 2v_1 - 3v_2)$.
Ho visto che, calcolando il determinante della matrice dei vettori rispetto a $(v_1,v_2,v_3)$ ottengo:
$$
{\mathcal B} = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
-2 & 0 & -3 \\
3 & 4 & 0
\end{array}
\right)
$$
il cui determinante è -25.
se faccio (-1/5)(-25) ottengo 5 che è il risultato del problema ma non so perché si deve fare così. Qualcuno può spiegarmelo? Grazie a tutti.
A qualcuno sembrerà ovvio ma io non so dove appigliarmi!
"ricca":
Buongiorno a tutti, ho il seguente problema:
Sapendo che $A = (v, v_2,v_3)$ e det(A) = -1/5 , calcolare
$det(3v_3 - 2v_2, v_1 + 4v_3, 2v_1 - 3v_2)$.
Ho visto che, calcolando il determinante della matrice dei vettori rispetto a $(v_1,v_2,v_3)$ ottengo:
$$
{\mathcal B} = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
-2 & 0 & -3 \\
3 & 4 & 0
\end{array}
\right)
$$
il cui determinante è -25.
se faccio (-1/5)(-25) ottengo 5 che è il risultato del problema ma non so perché si deve fare così. Qualcuno può spiegarmelo? Grazie a tutti.
Perché il determinante è una forma multilineare alternante. In pratica si ha (modulo conti) che \[\begin{matrix} D(3v_3 - 2v_2, v_1 + 4v_3, 2v_1 - 3v_2)=-9D(v_3 , v_1 , v_2) -16D(v_2,v_3,v_1)\\=-25D(v_1, v_2,v_3)=-25 \cdot ( -1/5) =5 \end{matrix}\]
Scusa ma non capisco i passaggi. Cosa è il determinante. Multilineare alternante?' mai sentita un'offesa così!
"ricca":
Scusa ma non capisco i passaggi. Cosa è il determinante??
Nessuno che possa spiegarmi questi passaggi?
Il determinante della matrice, come dice giustamente Delirium (Candilera docet) è multilineare alternante, in particolare nel nostro caso avremo:
$D(3 v_3 -2v_2, v_1 +4v_3, 2v_1 -3v_2)= 3D(v_3, v_1 +4v_3, 2v_1 -3v_2) -2D(v_2,v_1 +4v_3, 2v_1 -3v_2)=$
$=3D(v_3, v_1, 2v_1 -3v_2) + 12D(v_3, v_3, 2v_1 -3v_2) -2D(v_2,v_1, 2v_1 -3v_2)-8D(v_2,v_3, 2v_1 -3v_2)=$
Se ci sono due termini uguali il determinante vale 0, quindi il nostro secondo pezzo lo cancelliamo:
$=-9 D(v_3,v_1,v_2) -16D(v2,v_3,v_1)$
Ora devi vedere che tipo di permutazioni ci sono dentro al determinante, nel nostro caso sono entrambe pari, quindi mantengono inalterato il segno:
$=-25D(v_1,v_2,v_3)= -25*(-1/5)= 5.$
Capito ora?
$D(3 v_3 -2v_2, v_1 +4v_3, 2v_1 -3v_2)= 3D(v_3, v_1 +4v_3, 2v_1 -3v_2) -2D(v_2,v_1 +4v_3, 2v_1 -3v_2)=$
$=3D(v_3, v_1, 2v_1 -3v_2) + 12D(v_3, v_3, 2v_1 -3v_2) -2D(v_2,v_1, 2v_1 -3v_2)-8D(v_2,v_3, 2v_1 -3v_2)=$
Se ci sono due termini uguali il determinante vale 0, quindi il nostro secondo pezzo lo cancelliamo:
$=-9 D(v_3,v_1,v_2) -16D(v2,v_3,v_1)$
Ora devi vedere che tipo di permutazioni ci sono dentro al determinante, nel nostro caso sono entrambe pari, quindi mantengono inalterato il segno:
$=-25D(v_1,v_2,v_3)= -25*(-1/5)= 5.$
Capito ora?
beh sinceramente forse non avendo mai applicato i determinanti alle permutazioni e viceversa, mi viene difficile capire. Mi faresti qualche esempio del tipo che ti ho proposto ma in modo che possa capire bene come funziona? Chiedo scusa ma proprio non mi aspettavo che un esercizietto così nascondesse tante cose da sapere. Se non hai tempo per spiegarmi indicami un testo dove io possa trovare questo tipo di esercizi. Grazie per tutto ciò che farai!
Mettiamoci in questo caso:
$D(v_1,v_2,v_3)=1$
Troviamo tutte le permutazioni "dispari" cioè fatte di un numero di scambi dispari:
$D(v_2,v_1,v_3)=-1$
$D(v_3,v_2,v_1)=-1$
$D(v_1,v_3,v_2)=-1$
Ora le pari, tra cui l'identità:
$D(v_1,v_2,v_3)=1$
$D(v_3,v_1,v_2)=1$
$D(v_2,v_3,v_1)=1$
In più se moltiplichi per un coefficiente uno dei vettori:
$D(alphav_1,v_2,v_3)=alpha D(v_1,v_2,v_3)= alpha$
$D(v_1,alpha v_2,v_3)=alpha D(v_1,v_2,v_3)= alpha$
$D(v_1,v_2,alphav_3)=alpha D(v_1,v_2,v_3)= alpha$
Se nel determinante ci sono due vettori uguali allora vale 0.
Se al posto di un vettore metti il vettore stesso sommato un'altro vettore, questo non cambierà il determinante :
$D(v_1+ alpha v_2 + beta v_3,v_2,v_3)= D(v_1,v_2,v_3)=1$
Questo dovrebbe essere tutto
$D(v_1,v_2,v_3)=1$
Troviamo tutte le permutazioni "dispari" cioè fatte di un numero di scambi dispari:
$D(v_2,v_1,v_3)=-1$
$D(v_3,v_2,v_1)=-1$
$D(v_1,v_3,v_2)=-1$
Ora le pari, tra cui l'identità:
$D(v_1,v_2,v_3)=1$
$D(v_3,v_1,v_2)=1$
$D(v_2,v_3,v_1)=1$
In più se moltiplichi per un coefficiente uno dei vettori:
$D(alphav_1,v_2,v_3)=alpha D(v_1,v_2,v_3)= alpha$
$D(v_1,alpha v_2,v_3)=alpha D(v_1,v_2,v_3)= alpha$
$D(v_1,v_2,alphav_3)=alpha D(v_1,v_2,v_3)= alpha$
Se nel determinante ci sono due vettori uguali allora vale 0.
Se al posto di un vettore metti il vettore stesso sommato un'altro vettore, questo non cambierà il determinante :
$D(v_1+ alpha v_2 + beta v_3,v_2,v_3)= D(v_1,v_2,v_3)=1$
Questo dovrebbe essere tutto
perfetto!!! Grazie dell'aiuto e della pazienza!
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