Determinante
Buongiorno a tutti!
Nel mio corso di studi mi è stato definito il determinante di una matrice $A$ di dimensioni $n\times n$ come
\[
\det(A)=\sum_{p\in \sigma_n} \varepsilon(p) a_{1p(1)}\cdot\ldots\cdot a_{np(n)},
\]
oppure come "l'unica forma multilineare alternante che vale uno sulla matrice identica" o ancora definendolo direttamente con lo sviluppo di Laplace.
Mi chiedevo se qualcuno conoscesse un approccio più intuitivo. Voglio dire: non credo che un giorno un matematico si sia svegliato e abbia dato queste definizioni. Mi piacerebbe sapere quali sono stati i passaggi intermedi che hanno portato a questo formalismo.
Grazie a tutti quelli che risponderanno
Nel mio corso di studi mi è stato definito il determinante di una matrice $A$ di dimensioni $n\times n$ come
\[
\det(A)=\sum_{p\in \sigma_n} \varepsilon(p) a_{1p(1)}\cdot\ldots\cdot a_{np(n)},
\]
oppure come "l'unica forma multilineare alternante che vale uno sulla matrice identica" o ancora definendolo direttamente con lo sviluppo di Laplace.
Mi chiedevo se qualcuno conoscesse un approccio più intuitivo. Voglio dire: non credo che un giorno un matematico si sia svegliato e abbia dato queste definizioni. Mi piacerebbe sapere quali sono stati i passaggi intermedi che hanno portato a questo formalismo.
Grazie a tutti quelli che risponderanno
Risposte
non so se posso esserti utile: ti sono chiari i termini della formula mentre ti è astrusa la frase virgolettata?
hai bisogno di spiegazioni sulla formula o cerchi informazioni storiche?
io provo a dirti che si parte da una matrice quadrata, ... , il determinante è un numero associato alla matrice quadrata di ordine $n$:
se $n=1$, il determinante della matrice è il numero stesso che costituisce la matrice;
se $n>1$, il determinante è dato da una somma algebrica di $n!$ prodotti ottenuti prendendo come fattori, in tutti i modi possibili, un termine per ogni riga in modo che gli $n$ termini appartengano a colonne tutte diverse; ogni prodotto va preso con il proprio segno se corrisponde ad una permutazione di ordine pari di ${1,2,...,n}$, mentre va preso con il segno cambiato se corrisponde invece ad una permutazione di ordine dispari di ${1,2,...,n}$, dove la permutazione può essere scritta $((1,2, ......., n),(p(1),p(2), ......, p(n)))$, dove $p(i)$ è il numero della colonna dell'elemento della $i-$esima riga, con $i in {1,2,...,n}$.
una permutazione si dice pari o dispari se per passare da $(1,2, ..., n)$ a $(p(1),p(2), ..., p(n))$ si deve fare un numero rispettivamente pari o dispari di inversioni.
spero di essere stata utile.
hai bisogno di spiegazioni sulla formula o cerchi informazioni storiche?
io provo a dirti che si parte da una matrice quadrata, ... , il determinante è un numero associato alla matrice quadrata di ordine $n$:
se $n=1$, il determinante della matrice è il numero stesso che costituisce la matrice;
se $n>1$, il determinante è dato da una somma algebrica di $n!$ prodotti ottenuti prendendo come fattori, in tutti i modi possibili, un termine per ogni riga in modo che gli $n$ termini appartengano a colonne tutte diverse; ogni prodotto va preso con il proprio segno se corrisponde ad una permutazione di ordine pari di ${1,2,...,n}$, mentre va preso con il segno cambiato se corrisponde invece ad una permutazione di ordine dispari di ${1,2,...,n}$, dove la permutazione può essere scritta $((1,2, ......., n),(p(1),p(2), ......, p(n)))$, dove $p(i)$ è il numero della colonna dell'elemento della $i-$esima riga, con $i in {1,2,...,n}$.
una permutazione si dice pari o dispari se per passare da $(1,2, ..., n)$ a $(p(1),p(2), ..., p(n))$ si deve fare un numero rispettivamente pari o dispari di inversioni.
spero di essere stata utile.
Ciao e grazie per la risposta!
Forse però non sono stato chiaro io
A me è chiara la teoria che si studia sui determinanti utilizzando uno qualunque dei tre approcci che ho elencato. Quello che però vorrei sapere, è da dove hanno tirato fuori il determinante? Voglio dire, capisco la sua utilità, però se qualcuno sapesse indicarmi una strada intuitiva per giustificare l'esistenza del determinante gliene sarei grato.
Faccio un esempio. Mi è capitato studiando la dimostrazione di un teorema complicato (o perlomeno che a me sembrava complicato), che mi fossero chiari i passaggi, ma che a prima vista mi faceva pensare"come avranno fatto a trovare questa dimostrazione?" Poi magari passa un po' di tempo, il teorema mi diventa più familiare e infine la strada seguita nella dimostrazione mi sembra ovvia.
Con il determinante mi sono chiari tutti i passaggi della teoria, però non riesco a capire come possa esser nata la necessità di definire il determinante. Mi interesserebbe anche una motivazione che non sia quella storica che ha portato alla teoria che si studia sui libri; mi basta che sia molto intuitiva.
Spero di esser stato chiaro
Forse però non sono stato chiaro io
A me è chiara la teoria che si studia sui determinanti utilizzando uno qualunque dei tre approcci che ho elencato. Quello che però vorrei sapere, è da dove hanno tirato fuori il determinante? Voglio dire, capisco la sua utilità, però se qualcuno sapesse indicarmi una strada intuitiva per giustificare l'esistenza del determinante gliene sarei grato.
Faccio un esempio. Mi è capitato studiando la dimostrazione di un teorema complicato (o perlomeno che a me sembrava complicato), che mi fossero chiari i passaggi, ma che a prima vista mi faceva pensare"come avranno fatto a trovare questa dimostrazione?" Poi magari passa un po' di tempo, il teorema mi diventa più familiare e infine la strada seguita nella dimostrazione mi sembra ovvia.
Con il determinante mi sono chiari tutti i passaggi della teoria, però non riesco a capire come possa esser nata la necessità di definire il determinante. Mi interesserebbe anche una motivazione che non sia quella storica che ha portato alla teoria che si studia sui libri; mi basta che sia molto intuitiva.
Spero di esser stato chiaro
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