Determinanazione di un'applicazione lineare

[luka.bernardi]

Buongiorno a tutti.
Dato il seguente problema:
Siano U e V i seguenti sottospazi vettoriali di $RR^3$. $U = {(x,y,z) : x+y+z = 0}; V = {(x,y,z): x+y-z = 0}$
1) Determinare una basi di $U$, di $V$ e di $UnnV$ .
2) Determinare un'applicazione lineare $L: RR^3 -> RR^3$ con Kernel (L) = $UnnV$ e $L(U) sube V$

Per quanto riguarda il primo punto on ho avuto grosse difficoltà:

Base $U: (-y-z,y,z)$ essendoci solo due variabili la dimensione della base è 2 e utilizzo la base canonica di $RR^2$, ottenendo $(-1,1,0)$ e $(-1,0,1)$
Base $V: (-y+z,y,z)$ essendoci solo due variabili la dimensione della base è 2 e utilizzo la base canonica di $RR^2$, ottenendo $(-1,1,0)$ e $(1,0,1)$
Per la base di $UnnV$ risolvo il seguente sistema $\{(x + y + z = 0),(x+y - z = 0):}$ e trovo $(-y,y,0) -> (-1,1,0)$

Per quanto riguarda il punto 2 invece non so come muovermi, mi sapete aiutare?

[mod="Alexp"]
Ti ho corretto le ultime formule, che ti eri scordato di scrivere correttamente.
[/mod]

[franced]

"luka.bernardi":Buongiorno a tutti.
Dato il seguente problema:
Siano U e V i seguenti sottospazi vettoriali di $RR^3$. $U = {(x,y,z) : x+y+z = 0}; V = {(x,y,z): x+y-z = 0}$
1) Determinare una basi di $U$, di $V$ e di $UnnV$ .
2) Determinare un'applicazione lineare $L: RR^3 -> RR^3$ con Kernel (L) = $UnnV$ e $L(U) sube V$

Per quanto riguarda il primo punto on ho avuto grosse difficoltà:

Base U: (-y-z,y,z) essendoci solo due variabili la dimensione della base è 2 e utilizzo la base canonica di $RR^2$, ottenendo (-1,1,0) e (-1,0,1)
Base V: (-y+z,y,z) essendoci solo due variabili la dimensione della base è 2 e utilizzo la base canonica di $RR^2$, ottenendo (-1,1,0) e (1,0,1)
Per la base di $UnnV$ risolvo il seguente sistema $\{(x + y + z = 0),(x+y - z = 0):}$ e trovo $(-y,y,0) -> (-1,1,0)$

...

Bene, ora devi imporre che il vettore $((-1),(1),(0))$ stia nel ker di $L$.
Per quanto riguarda l'immagine dei vettori della base di $U$ abbiamo che
$((-1),(1),(0))$ va nel vettore nullo, l'immagine di $((-1),(0),(1))$ deve
andare in un vettore (non nullo) qualsiasi di $V$.

Poi continua da solo..

[cirasa]

Dal fatto che $ker\ L=U\cap V$ hai che se un vettore $x$ è in $U\cap V$ allora $L(x)=0$.
Per esempio $u_1=(-1,1,0)\in U\cap V$ e quindi $L(u_1)=0$.

Inoltre, affinchè $L(U)\subset V$, è sufficiente che, posto $u_2=(-1,0,1)$, si abbia $L(u_2)\in V$, per esempio, puoi scegliere $L(u_2)=(1,0,1)$.
Fatto questo avrai che $L(U)=L()= \subset V$.
Bada bene però a non scegliere $L(u_2)=0$, perchè altrimenti $U=\subset ker\ L$ e quindi $ker\ L\ne U\cap V$.

Ora, per definire tutta l'applicazione lineare $L$, è sufficiente definirla su una base di $RR^3$. Quindi completi $u_1, u_2$ ad una base $(u_1,u_2,u_3)$ di $RR^3$ e definisci $L(u_3)$. L'ultima raccomandazione è non scegliere $L(u_3)=0$, perche altrimenti $\subset ker\ L$ e quindi $ker\ L=\ne U\cap V$.

Una volta fatto ciò, per sicurezza, puoi facilmente verificare che l'applicazione $L$ costruita è quella buona.


Edit: Scusa Franced, non avevo visto che avevi già risposto!

[franced]

"cirasa":
Edit: Scusa Franced, non avevo visto che avevi già risposto!

Questione di secondi...

[luka.bernardi]

"cirasa":Dal fatto che $ker\ L=U\cap V$ hai che se un vettore $x$ è in $U\cap V$ allora $L(x)=0$.
Per esempio $u_1=(-1,1,0)\in U\cap V$ e quindi $L(u_1)=0$.

Inoltre, affinchè $L(U)\subset V$, è sufficiente che, posto $u_2=(-1,0,1)$, si abbia $L(u_2)\in V$, per esempio, puoi scegliere $L(u_2)=(1,0,1)$.
Fatto questo avrai che $L(U)=L()= \subset V$.
Bada bene però a non scegliere $L(u_2)=0$, perchè altrimenti $U=\subset ker\ L$ e quindi $ker\ L\ne U\cap V$.

Ora, per definire tutta l'applicazione lineare $L$, è sufficiente definirla su una base di $RR^3$. Quindi completi $u_1, u_2$ ad una base $(u_1,u_2,u_3)$ di $RR^3$ e definisci $L(u_3)$. L'ultima raccomandazione è non scegliere $L(u_3)=0$, perche altrimenti $\subset ker\ L$ e quindi $ker\ L=\ne U\cap V$.

Una volta fatto ciò, per sicurezza, puoi facilmente verificare che l'applicazione $L$ costruita è quella buona.


Edit: Scusa Franced, non avevo visto che avevi già risposto!

è tutto chiaro, però mi rimane un dubbio: formalmente dopo aver trovare un vettore che complementa ad una base di $RR^3$ io non ho ancora definito la mia applicazione lineare. Per intenderci non ho un $f(x)$ definita in qualche modo che mi esprima come passo da $u_1$ a $(0,0,0)$ da $u_2$ a $(1,0,1)$ e da $u_3$ a una base di $V$.

[franced]

Guarda ti scrivo un'applicazione concreta:

$f: ((-1),(1),(0)) -> ((0),(0),(0))$

$f: ((-1),(0),(1)) -> ((1),(0),(1))$

$f: ((1),(0),(0)) -> ((1),(0),(0))$

[luka.bernardi]

"franced":Guarda ti scrivo un'applicazione concreta:

$f: ((-1),(1),(0)) -> ((0),(0),(0))$

$f: ((-1),(0),(1)) -> ((1),(0),(1))$

$f: ((1),(0),(0)) -> ((1),(0),(0))$

Probabilmente quello che intendo io è più un problema di formalità. Voglio dire anche io ero arrivato a definire la $f$ come hai appena fatto tu. Ma quello che voglio capire questo è sufficente? Non è necessario scrivere qualcosa del tipo $f(x,y,z) = (\alphax+\betay+\gammaz,...,...)$ ?

[franced]

il testo dell'esercizio dice: "determinare un'applicazione tale che..."

[cirasa]

"luka.bernardi":
Probabilmente quello che intendo io è più un problema di formalità. Voglio dire anche io ero arrivato a definire la $f$ come hai appena fatto tu. Ma quello che voglio capire questo è sufficente? Non è necessario scrivere qualcosa del tipo $f(x,y,z) = (\alphax+\betay+\gammaz,...,...)$ ?

Per determinare un'applicazione lineare $L$, basta conoscere come agisce $L$ sui vettori di una base. Quindi è sufficiente. Esercizio concluso.

Se poi, "luka", vuoi esercitarti un po', puoi provare a calcolarti come agisce la $L$ su un generico vettore $(x,y,z)$. Praticamente significa capire come agisce $L$ sui vettori della base canonica...Se ne hai voglia prova pure e, se ci sono problemi, fammi sapere.

[luka.bernardi]

"cirasa":[quote="luka.bernardi"]
Probabilmente quello che intendo io è più un problema di formalità. Voglio dire anche io ero arrivato a definire la $f$ come hai appena fatto tu. Ma quello che voglio capire questo è sufficente? Non è necessario scrivere qualcosa del tipo $f(x,y,z) = (\alphax+\betay+\gammaz,...,...)$ ?

Per determinare un'applicazione lineare $L$, basta conoscere come agisce $L$ sui vettori di una base. Quindi è sufficiente. Esercizio concluso.

Se poi, "luka", vuoi esercitarti un po', puoi provare a calcolarti come agisce la $L$ su un generico vettore $(x,y,z)$. Praticamente significa capire come agisce $L$ sui vettori della base canonica...Se ne hai voglia prova pure e, se ci sono problemi, fammi sapere.[/quote]

Esattamente! Probabilmente queelo che avevo in mente io era cercare di capire come agisce $L$ su un generico vettore.

[franced]

"franced":Guarda ti scrivo un'applicazione concreta:

$f: ((-1),(1),(0)) -> ((0),(0),(0))$

$f: ((-1),(0),(1)) -> ((1),(0),(1))$

$f: ((1),(0),(0)) -> ((1),(0),(0))$

La mia applicazione può essere scritta così:

$((x),(y),(z)) -> ((1,1,2),(0,0,0),(0,0,1)) ((x),(y),(z))$

[luka.bernardi]

"franced":[quote="franced"]Guarda ti scrivo un'applicazione concreta:

$f: ((-1),(1),(0)) -> ((0),(0),(0))$

$f: ((-1),(0),(1)) -> ((1),(0),(1))$

$f: ((1),(0),(0)) -> ((1),(0),(0))$

La mia applicazione può essere scritta così:

$((x),(y),(z)) -> ((1,1,2),(0,0,0),(0,0,1)) ((x),(y),(z))$[/quote]

Mi puoi spiegare come ci sei arrivato?

[franced]

Molto semplice:

dalla $f: ((-1),(1),(0)) -> ((0),(0),(0))$

si ricava

$f ((1),(0),(0)) = f ((0),(1),(0))$ ;

sapendo che $f: ((1),(0),(0)) -> ((1),(0),(0))$
troviamo che

$f: ((0),(1),(0)) -> ((1),(0),(0))$ .


Infine, dalla $f: ((-1),(0),(1)) -> ((1),(0),(1))$
troviamo

$f((-1),(0),(1)) = - f ((1),(0),(0)) + f ((0),(0),(1)) = ((1),(0),(1))$

quindi

$- ((1),(0),(0)) + f ((0),(0),(1)) = ((1),(0),(1))$

da cui ricavo

$f ((0),(0),(1)) = ((1),(0),(1)) + ((1),(0),(0)) = ((2),(0),(1))$ .

A questo punto, avendo le immagini dei vettori della base canonica,
posso scrivere tranquillamente la matrice che rappresenta
l'applicazione lineare rispetto alla base canonica.