Det se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti
determinare se i seguenti vettori di R3 sono linearmente indipendenti
V1= (1,1,1)
V2= (1,1,-1)
V3= (2,2,1)
per definire cio' devo calcolare il determinante della matrice costituita dai vettori
quindi A = $((1,1,1),(1,1,-1),(2,2,1))$
se il determinante = 0 allora i vettori sono linearmente dipendenti altrimenti linearmente indipendenti
det A= 1*1*1 + 1*2*1 + 2*1*-1 - 1*1*2 - -1*2*1 - 1*1*1 =0
in questo caso il determinante è = 0 per cui sono LINEARMENTE DIPENDENTI vero?
V1= (1,1,1)
V2= (1,1,-1)
V3= (2,2,1)
per definire cio' devo calcolare il determinante della matrice costituita dai vettori
quindi A = $((1,1,1),(1,1,-1),(2,2,1))$
se il determinante = 0 allora i vettori sono linearmente dipendenti altrimenti linearmente indipendenti
det A= 1*1*1 + 1*2*1 + 2*1*-1 - 1*1*2 - -1*2*1 - 1*1*1 =0
in questo caso il determinante è = 0 per cui sono LINEARMENTE DIPENDENTI vero?
Risposte
si esatto, se il determinante è nullo sono dipendenti. è analogo dire che la matrice non ha ragno massimo.
Cioè in questo caso il RANGO è 3
ma se non fosse cosi' cioe il det diverso da zero i vettori sono Linearmente Indipendenti
allora per determinare il RANGO considero una sua sottomatrice
ma quale????? non credo sia indifferente perchè i dterminanti cambiano a seconda della sottomatrice che considero vero?
ma se non fosse cosi' cioe il det diverso da zero i vettori sono Linearmente Indipendenti
allora per determinare il RANGO considero una sua sottomatrice
ma quale????? non credo sia indifferente perchè i dterminanti cambiano a seconda della sottomatrice che considero vero?
La matrice sopra indicata non ha rango 3 , lo avrebbe se il det della matrice fosse diverso da 0.
Per trovare quale è il rango cerca la sottomatrice di rango massimo il cui determinanate è diverso da 0 .
Se trovi almeno una sottomatrice di ordine 2 il cui det è diverso da 0 , allora il rango della matrice è 2 .
Se invece TUTTE le sottomatrici di ordine 2 hanno det uguale a 0 , allora devi cercare se ci sono matrici di rango 1 , cioè composte da un solo elemento e vedere se qualcuna di queste è formqata da un elemento diverso da 0 : in tal caso il rango sarebbe 1 .
Nel caso specifico il rango della matrice è ......
Per trovare quale è il rango cerca la sottomatrice di rango massimo il cui determinanate è diverso da 0 .
Se trovi almeno una sottomatrice di ordine 2 il cui det è diverso da 0 , allora il rango della matrice è 2 .
Se invece TUTTE le sottomatrici di ordine 2 hanno det uguale a 0 , allora devi cercare se ci sono matrici di rango 1 , cioè composte da un solo elemento e vedere se qualcuna di queste è formqata da un elemento diverso da 0 : in tal caso il rango sarebbe 1 .
Nel caso specifico il rango della matrice è ......
esatto CAMILLO ora mi correggo,il det della matrice di cui sopra è 0
in questo caso i vettori sono LINEARMENTE DIPENDENTI quindi non posso dire che ha rango = 3
Quindi a questo punto considero una qualunque sottomatrice ad esempio di ordine 2,quindi basta trovarne una sola che mi dà il determinamte diverso da zero per poter dire che il RANGO è pari a 2?
Comunque se il det contina ad essere uguale a 0 devo calcolarmele tutte finchè trovo quella famosa?
Eventualmente passo alle sottomatrici di ordine immediatamente inferiore
nel caso sopra vado a considerare la sottomatrice $((1,-1),(2,1))$ qui il det è 3 cioè diverso da 0 quindi linearmente indipendenti
Il RANGO è 2!!!!!!!!!!!!!!!!!
in questo caso i vettori sono LINEARMENTE DIPENDENTI quindi non posso dire che ha rango = 3
Quindi a questo punto considero una qualunque sottomatrice ad esempio di ordine 2,quindi basta trovarne una sola che mi dà il determinamte diverso da zero per poter dire che il RANGO è pari a 2?
Comunque se il det contina ad essere uguale a 0 devo calcolarmele tutte finchè trovo quella famosa?
Eventualmente passo alle sottomatrici di ordine immediatamente inferiore
nel caso sopra vado a considerare la sottomatrice $((1,-1),(2,1))$ qui il det è 3 cioè diverso da 0 quindi linearmente indipendenti
Il RANGO è 2!!!!!!!!!!!!!!!!!
Esatto e adesso prova a trovare il rango di questa matrice $((1,1),(2,2),(3,5))$ .
cmq secondo me non è molto utile per un conto così facile ricorrere al determinate...basta vedere se i tre vettori sono combinazione lineare del vettore nullo...se si sono dipendenti altrimenti sono indipendenti...Forse la vedo così perchè non ho capito bene il problema e se è così me ne scuso!!!
Da studente alle prime armi di Algebra, mi immischio nella discussione. Immagino che anche stavolta il rango della matrice sia 2. E' corretto giustificarlo per il fatto che in entrambi i casi ci sono due colonne non solo proporzionali, ma anche identiche, giusto?
"neopeppe89":
basta vedere se i tre vettori sono combinazione lineare del vettore nullo...se si sono dipendenti altrimenti sono indipendenti
sicuro?
"Camillo":
Esatto e adesso prova a trovare il rango di questa matrice $((1,1),(2,2),(3,5))$ .
beh ma si vede dal fatto che le prime componenti sono una multipla dell'altra e invece 3 5 no, non sono multiple ma magari sono coupet ahahah...ok basta delirio notturno
cmq la matrice nulla che ragno ha?
"Camillo":
Esatto e adesso prova a trovare il rango di questa matrice $((1,1),(2,2),(3,5))$ .
beh ma si vede dal fatto che le prime componenti sono una multipla dell'altra e invece 3 5 no, non sono multiple ma magari sono coupet ahahah...ok basta delirio notturno
cmq la matrice nulla che ragno ha?
La soluzione di antani è la più rapida, direi la più efficiente.
La matrice nulla ha rango zero, anzi è l'unica ad avere rango zero.
Avevo indicato una matrice $3x2$ di cui trovare il rango per esercitarsi a cercare il minore di ordine massimo con determinanate non nullo : se considero le prime 2 righe la sottomatrice (se mpre quadrata ovviamente) ha det =0 ; se però considero la prima e terza riga la sottomatrice ha det diverso da o e quindi il rango è 2 .
Benny : il rango è 2 -vuoi dire che ha due righe in cui gli elementi sono uguali tra loro ma per la terza riga non è così .
La matrice nulla ha rango zero, anzi è l'unica ad avere rango zero.
Avevo indicato una matrice $3x2$ di cui trovare il rango per esercitarsi a cercare il minore di ordine massimo con determinanate non nullo : se considero le prime 2 righe la sottomatrice (se mpre quadrata ovviamente) ha det =0 ; se però considero la prima e terza riga la sottomatrice ha det diverso da o e quindi il rango è 2 .
Benny : il rango è 2 -vuoi dire che ha due righe in cui gli elementi sono uguali tra loro ma per la terza riga non è così .
Nel caso della prima matrice intendevo proprio le colonne, mentre nella seconda intendevo le righe, poi ho mescolato le cose. 
.........confermo pure io che il RANGO è 2
ricordo che il rango-righe è uguale al rango-colonne...
"Akuma":
ricordo che il rango-righe è uguale al rango-colonne...
Giusto : a volte è più comodo guardare le une a volte le altre per determinare il rango di una matrice , la dipendenza o indipendenza lineare di vettori
Nei vettori $v_1 =(1,2,3), v_2=(4,-1,5), v_3(-2,5,1)$ il determinante della 3x3 è $0$! Dunque la matrice non ha rango massimo e di conseguenza questi vettori sono Lineramente Indipendenti! Fin qui ci siamo! Ora vorrei sapere, il fatto che il $r(A)=2$ ci dice qualcosa di più sulla lineare indipendenza di questi vettori?
Grazie!
Grazie!
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