Det di applicazione
che considerazione posso fare sul determinante della seguente applicazione: $f_A (x)=Ax^tA^-1$ , $f_A(x) in End RR(2)$ , calcolare il $detf_A(x)$.. dunque so che il $detf_A(x)=-1$ solo che non mi è tanto chiaro il perché.. se facessi alcune considerazioni con il teorema di binet avrei che $detI det x^t$ che è $1 det x^t$ 
Risposte
\(\mathbb{R}(2)\) è \(\mathbb{R}^2\) o qualche altro spazio. In ogni caso se quello è \(\mathbb{R}^2\) e \(A\) è una matrice \(2\times 2\) allora la tua funzione non ha senso perché non ha senso la moltiplicazione (le dimensioni dei vettori non combaciano). Quindi immagino di aver capito male. In ogni caso, sempre in questo caso \(\det x^t\) non avrebbe alcun senso (\(x^t\) non sarebbe un endomorfismo).
sia $A$ che $x^t$ sono matrici $2X2$... ci mancherebbe ho detto pure che la $f_A(x)$ è $EndRR(2)$
Infatti ti ho chiesto cos'era \(\mathbb{R}(2)\), Ti assicuro che non è un modo molto comune per rappresentare le matrici \(2\times 2\). Sinceramente non so come mai certi professori o libri si inventano certe notazioni 
.
Detto questo se \(x\) è una matrice \(2\times 2\) allora la matrice associata a \(f_A(x)\) deve essere una matrice \(4\times 4\) perché l'insieme delle matrici \(2\times 2\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(4\). La tua formula inoltre ha poco senso dato che \(det x\) può essere qualsiasi.
\[f_A\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]
La cui matrice associata è data dai valori:
\begin{align} f_A\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} &= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} ad & -ab \\ cd & -bc \end{pmatrix}
\end{align}
\begin{align} f_A\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} &= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} b & 0 \\ d & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} bd & -b^2 \\ d^2 & -db \end{pmatrix}
\end{align}
\begin{align}f_A\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} -ac & a^2 \\ -c^2 & ac \end{pmatrix}
\end{align}
\begin{align}f_A\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} -bc & ab \\ -dc & ad \end{pmatrix}
\end{align}
A questo punto puoi calcolare il determinante.
.Detto questo se \(x\) è una matrice \(2\times 2\) allora la matrice associata a \(f_A(x)\) deve essere una matrice \(4\times 4\) perché l'insieme delle matrici \(2\times 2\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(4\). La tua formula inoltre ha poco senso dato che \(det x\) può essere qualsiasi.
\[f_A\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]
La cui matrice associata è data dai valori:
\begin{align} f_A\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} &= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} ad & -ab \\ cd & -bc \end{pmatrix}
\end{align}
\begin{align} f_A\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} &= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} b & 0 \\ d & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} bd & -b^2 \\ d^2 & -db \end{pmatrix}
\end{align}
\begin{align}f_A\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} -ac & a^2 \\ -c^2 & ac \end{pmatrix}
\end{align}
\begin{align}f_A\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} -bc & ab \\ -dc & ad \end{pmatrix}
\end{align}
A questo punto puoi calcolare il determinante.
si si anche io ho rappresentato la funzione tramite la matrice $4X4$. però chiedevo se conoscevi un metodo più teorico per arrivare a dire che il det di $f_A$ è $-1$
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