Derivata di un vettore.
Riprendo una discussione che già postai nella sezione "Fisica", ampliata di alcune considerazioni.
La derivata di una funzione scalare è per definizione il limite del rapporto incrementale. La derivata di una funzione vettoriale, dovrebbe essere la somma delle derivata del rapporto incrementale delle componenti del vettore lungo gli assi (sbaglio? non dico ciò con sicurezza). E allora perchè si parla della derivata di un vettore "singolo"?
La derivata di una funzione scalare è per definizione il limite del rapporto incrementale. La derivata di una funzione vettoriale, dovrebbe essere la somma delle derivata del rapporto incrementale delle componenti del vettore lungo gli assi (sbaglio? non dico ciò con sicurezza). E allora perchè si parla della derivata di un vettore "singolo"?
Risposte
Omiodiocheconfusione!
Sia $f(x):=(f_1(x),\ldots ,f_n(x)))$ una funzione di $RR$ in $RR^n$. La derivata di $f$ in $x$ è, per definizione, il valore assunto dal limite:
(*) $\quad \lim_(h\to 0) (f(x+h)-f(x))/h$
supposto che esso esista finito e tale valore si denota con $f'(x)$.
Ora, visto che la differenza tra vettori ed il prodotto per lo scalare è possibile calcolarli componente per componente, per ogni fissato incremento $h$ hai:
$(f(x+h)-f(x))/h=((f_1(x+h)-f_1(x))/h,\ldots, (f_n(x+h)-f_n(x))/h)$;
analogamente, visto che i limiti di vettori si calcolano componente per componente, il limite (*) è uguale al vettore di limiti:
(**) $\quad (\lim_(h\to 0)(f_1(x+h)-f_1(x))/h,\ldots, \lim_(h\to 0)(f_n(x+h)-f_n(x))/h)$
cosicché $f'(x)$ esiste se e solo se tutte le componenti $f_1,\ldots ,f_n$ di $f$ sono derivabili in $x$ ed in tal caso si ha:
$f'(x)=(f'_1(x),\ldots ,f'_n(x))$.
L'ultima uguaglianza si esprime dicendo che la derivata di un vettore coincide col vettore delle derivate delle sue componenti.
Discorso del tutto analogo può essere fatto per le derivate parziali di una funzione vettoriale $f(x_1,\ldots ,x_m):=(f_1(x_1,ldots ,x_m) ,\ldots ,f_n(x_1,\ldots ,x_m))$ di $RR^m$ in $RR^n$: infatti in tal caso hai:
$(\partial f)/(\partial x_j)(x_1,\ldots ,x_m) =((\partial f_1)/(\partial x_j)(x_1,\ldots ,x_m),\ldots ,(\partial f_n)/(\partial x_j)(x_1,\ldots ,x_m)) \quad$ per $\quad j=1,\ldots ,m$.
Sia $f(x):=(f_1(x),\ldots ,f_n(x)))$ una funzione di $RR$ in $RR^n$. La derivata di $f$ in $x$ è, per definizione, il valore assunto dal limite:
(*) $\quad \lim_(h\to 0) (f(x+h)-f(x))/h$
supposto che esso esista finito e tale valore si denota con $f'(x)$.
Ora, visto che la differenza tra vettori ed il prodotto per lo scalare è possibile calcolarli componente per componente, per ogni fissato incremento $h$ hai:
$(f(x+h)-f(x))/h=((f_1(x+h)-f_1(x))/h,\ldots, (f_n(x+h)-f_n(x))/h)$;
analogamente, visto che i limiti di vettori si calcolano componente per componente, il limite (*) è uguale al vettore di limiti:
(**) $\quad (\lim_(h\to 0)(f_1(x+h)-f_1(x))/h,\ldots, \lim_(h\to 0)(f_n(x+h)-f_n(x))/h)$
cosicché $f'(x)$ esiste se e solo se tutte le componenti $f_1,\ldots ,f_n$ di $f$ sono derivabili in $x$ ed in tal caso si ha:
$f'(x)=(f'_1(x),\ldots ,f'_n(x))$.
L'ultima uguaglianza si esprime dicendo che la derivata di un vettore coincide col vettore delle derivate delle sue componenti.
Discorso del tutto analogo può essere fatto per le derivate parziali di una funzione vettoriale $f(x_1,\ldots ,x_m):=(f_1(x_1,ldots ,x_m) ,\ldots ,f_n(x_1,\ldots ,x_m))$ di $RR^m$ in $RR^n$: infatti in tal caso hai:
$(\partial f)/(\partial x_j)(x_1,\ldots ,x_m) =((\partial f_1)/(\partial x_j)(x_1,\ldots ,x_m),\ldots ,(\partial f_n)/(\partial x_j)(x_1,\ldots ,x_m)) \quad$ per $\quad j=1,\ldots ,m$.
"Gugo82":
Sia $f(x):=(f_1(x),\ldots ,f_n(x)))$ una funzione di $RR$ in $RR^n$. La derivata di $f$ in $x$ è, per definizione, il valore assunto dal limite:
(*) $\quad \lim_(h\to 0) (f(x+h)-f(x))/h$
supposto che esso esista finito e tale valore si denota con $f'(x)$.
Cosa vuol dire che un limite di una roba in $RR^n$ sia FINITO? Nulla!
Basta dire che esiste.
In $RR^n$ (per n>1) non c'è il problema di dover distinguere tra limiti finiti e limiti infiniti. Anche in $RR$ non ci dovrebbe essere questo problema se considerassimo $RR$ come spazio metrico con la distanza $|x-y|$.
Ma nel caso di $RR$ vogliamo dare un senso alle nozioni intuitive di limite finito e infinito e per far ciò ampliamo $RR$ allo spazio $bar{RR} = RR cup {+oo , -oo}$ dotato della metrica $d : bar(RR) times bar(RR) to RR$ così definita
$d(x,y)= |f(x) - f(y)| \ forall x, y in bar{RR}$
dove $f : bar{RR} to RR$ è definita da
$f(x) = {(arctg x \ \ \ se \ x in RR),(pi/2 \ \ \ se \ x=+oo),(-pi/2 \ \ \ se \ x=-oo):}$
Beh però questa costruzione, che tu hai applicato ad $RR$ per renderlo compatto (in fondo credo sia questo il motivo per cui si aggiungono $+-infty$), assomiglia, con le dovute modifiche, a cose analoghe che si fanno per $RR^n$. Prendiamo ad esempio $RR^2$. E' un fatto noto la corrispondenza biunivoca tra $RR^2$ e una sfera privata di un polo (proiezione stereografica mi pare che si chiami). Questa corrispondenza è continua, con inversa continua (omeomorfismo), quindi in un certo senso (sicuramente dal punto di vista dei limiti) $RR^2$ è una sfera in $RR^3$ meno un polo. Se aggiungiamo questo polo, e lo chiamiamo $infty$, abbiamo uno spazio compatto. Ora io non sono un esperto, ma con questo principio mi sa proprio che possiamo parlare di limiti infiniti e limiti all'infinito pure in $RR^2$.
[edit] una piccola correzione.
[edit] una piccola correzione.
"NightKnight":
[quote="Gugo82"]Sia $f(x):=(f_1(x),\ldots ,f_n(x)))$ una funzione di $RR$ in $RR^n$. La derivata di $f$ in $x$ è, per definizione, il valore assunto dal limite:
(*) $\quad \lim_(h\to 0) (f(x+h)-f(x))/h$
supposto che esso esista finito e tale valore si denota con $f'(x)$.
Cosa vuol dire che un limite di una roba in $RR^n$ sia FINITO? Nulla![/quote]
Semplicemente, si dice che il limite per $x\to x_0$ di una funzione vettoriale $f:RR\to RR^n$ è infinito e si scrive $lim_(x\to x_0) f(x)=oo$ se e solo se:
$AA \epsilon >0, EE \delta >0 : \quad AA x\in ]x_0-delta,x_0+delta[, |f(x)|>\epsilon \quad$;
detto altrimenti, $lim_(x\to x_0) f(x)=oo$ se e solo se la funzione non negativa $|f(x)|$ è positivamente divergente in $x_0$; o, ancora, dire che $lim_(x\to x_0) f(x)=oo$ significa che l'immagine di $f$ è definitivamente "fuori" da una sfera di centro $o:=(0,\ldots ,0)$ intorno a $x_0$.
Per contro, dire che il limite della funzione vettoriale $f:RR\to RR^n$ esiste finito in $x_0$ significa affermare che $f$ è regolare in $x_0$ e che $lim_(x\to x_0) f(x)!=oo$.
Meno boria nelle risposte la prossima volta; mica è colpa mia se non ti hanno insegnato a definire la divergenza in $RR^n$...
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