Derivata covariante
ragazzi avrei bisogno di un aiuto riguardo le derivate covarianti....
allora: supponiamo di avere una superficie astratta \(\displaystyle M \) : sia \(\displaystyle x \) una carta locale su M. Allora un campo di vettori tangente ad M si scrive rispetto ai campi coordinati in questo modo: \(\displaystyle X=\sum_{i=1}^{2} X[x_i] \frac{\partial}{\partial x_i} \). Una CONNESSIONE o derivata covariante su M è un'applicazione \(\displaystyle D: \mathfrak{X} \times \mathfrak{X} \rightarrow \mathfrak{X} \) che gode di: linearità nel primo argomento rispetto alle funzioni, linearità nel secondo rispetto agli scalari, una "versione" della regola di Leibniz rispetto alle funzioni nel secondo argomento. Se, inoltre, sulla superficie è definita una metrica pseudoriemanniana \(\displaystyle \langle , \rangle \) , allora esiste una sola CONNESSIONE riemanniana che soddisfa alla \(\displaystyle 2 \langle \nabla_X Y , Z \rangle = X \langle Y,Z \rangle + Y \langle X,Z \rangle - Z \langle X,Y \rangle - \langle X,[Y,Z] \rangle - \langle Y, [X,Z] \rangle + \langle Z,[X,Y] \rangle \) PER OGNI TERNA DI CAMPI X,Y,Z TANGENTI ALLA SUPERFICIE.
Supponiamo \(\displaystyle M \subset \mathbb{R}^n \) . Allora il mio testo dice che la derivata covariante \(\displaystyle \nabla_X Y \) è la componente tangenziale del campo \(\displaystyle D_X Y \) dove D è la connessione naturale su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)
Dunque devo interpretarlo nel senso che X,Y possono essere considerati come campi tangenti ad \R^n RISTRETTI alla superficie? Ed in ogni caso, come faccio a vedere che in ogni punto della superficie il vettore tangente assegnato dal campo \(\displaystyle \nabla_X Y \) è la componente tangenziale del vettore \(\displaystyle D_X Y \) ??
allora: supponiamo di avere una superficie astratta \(\displaystyle M \) : sia \(\displaystyle x \) una carta locale su M. Allora un campo di vettori tangente ad M si scrive rispetto ai campi coordinati in questo modo: \(\displaystyle X=\sum_{i=1}^{2} X[x_i] \frac{\partial}{\partial x_i} \). Una CONNESSIONE o derivata covariante su M è un'applicazione \(\displaystyle D: \mathfrak{X} \times \mathfrak{X} \rightarrow \mathfrak{X} \) che gode di: linearità nel primo argomento rispetto alle funzioni, linearità nel secondo rispetto agli scalari, una "versione" della regola di Leibniz rispetto alle funzioni nel secondo argomento. Se, inoltre, sulla superficie è definita una metrica pseudoriemanniana \(\displaystyle \langle , \rangle \) , allora esiste una sola CONNESSIONE riemanniana che soddisfa alla \(\displaystyle 2 \langle \nabla_X Y , Z \rangle = X \langle Y,Z \rangle + Y \langle X,Z \rangle - Z \langle X,Y \rangle - \langle X,[Y,Z] \rangle - \langle Y, [X,Z] \rangle + \langle Z,[X,Y] \rangle \) PER OGNI TERNA DI CAMPI X,Y,Z TANGENTI ALLA SUPERFICIE.
Supponiamo \(\displaystyle M \subset \mathbb{R}^n \) . Allora il mio testo dice che la derivata covariante \(\displaystyle \nabla_X Y \) è la componente tangenziale del campo \(\displaystyle D_X Y \) dove D è la connessione naturale su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)
Dunque devo interpretarlo nel senso che X,Y possono essere considerati come campi tangenti ad \R^n RISTRETTI alla superficie? Ed in ogni caso, come faccio a vedere che in ogni punto della superficie il vettore tangente assegnato dal campo \(\displaystyle \nabla_X Y \) è la componente tangenziale del vettore \(\displaystyle D_X Y \) ??
Risposte
Mi chiedo: ma il tuo testo lo dice nel senso che lo definisce così? Oppure c'è una dimostrazione? In ogni caso, se $M$ è una varietà immersa in [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] allora è facile dimostrare (è una robetta di spazi vettoriali) che vale la seguente decomposizione [tex]$T\mathbb{R}^n=TM\oplus TM^\bot$[/tex] dove [tex]$TM^\bot$[/tex] è il complemento ortogonale di $TM$ rispetto alla metrica (standard) dello spazio ambiente. In questo modo si può definire (o, se vuoi, è facile dimostare) che, indicata con [tex]$\tan: T\mathbb{R}^n\rightarrow TM$[/tex] la proiezione ortogonale su $TM$ allora $\nabla_X^Y=\tan(D_X Y)$. Per farlo, basta scrivere $D_X Y=T(X,Y)+N(X,Y)$ dove la prima è la componente tangenziale e la seconda quella normale e verificare, effettivamente, che $T(X,Y)$ soddisfa le proprietà di essere la connessione (di Levi-Civita) di $M$.
è da dimostrare ma la dimostrazione dice "deriva dall'uguaglianza 2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩+Y⟨X,Z⟩−Z⟨X,Y⟩−⟨X,[Y,Z]⟩−⟨Y,[X,Z]⟩+⟨Z,[X,Y]⟩. E grazie! Allora quindi dovrei 1 esprimere un campo tangente come comb lin dei campi tangenti di base \(\displaystyle X=\sum_{i=1}^{2} X[x_i] \frac{\partial}{\partial x_i} \) 2 esprimere i campi tangenti di base come comb lin dei campi coordinati di Rn \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_{j=1}^n a_j \frac{\partial}{\partial u_j} \) 3 calcolare \(\displaystyle D_X Y \) considerandoli come campi di Rn 4 fare il prodotto scalare con i campi di base dello spazio tangente per trovare la proiezione ortogonale 5 verificare le proprietà della connessione di levi civita.
E' così? Io mi perdo nei calcoli da subito....mi indirizzeresti?
E' così? Io mi perdo nei calcoli da subito....mi indirizzeresti?
Bè, rifletti: se la relazione di Levi-Civita (quella che hai scritto all'inizio) vale per qualsiasi scelta di campi tangenti alla varietà, essa varrà anche su quelli di base, no? E le cose si dovrebbero semplificare molto. In pratica, puoi scegliere $X=\partial_i,\ y=\partial_j,\ Z=\partial_k$.
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