Definizione di superficie regolare

[tommaso.stilo]

Perché una superficie (parametrica) per essere regolare deve essere iniettiva? Potreste fornirmi qualche esempio per capire questo?

[gugo82]

Facciamo un discorso molto intuitivo, perciò lasciamo stare per un attimo le superfici e pensiamo ad una curva (tanto, mutatis mutandis, il discorso è lo stesso).

Prendiamo, ad esempio, il folium di Cartesio: esso ha un punto doppio nell'origine e quindi è possibile trovarne una parametrizzazione \(\phi\) non iniettiva.
Ora, fissata questa parametrizzazione, il punto \(o=(0,0)\) corrisponderà a due valori del parametro \(t_1 A tal punto, supponiamo che la \(\phi\) sia una parametrizzazione regolare: geometricamente, ciò vuol dire che 1) il versore tangente indotto da \(\phi\) ha da variare con continuità e che 2) ad ogni punto della curva è associato un unico versore tangente.
Però si vede che le condizioni 1 e 2 non possono essere entrambe soddisfatte da \(\phi\): infatti, se il versore tangente varia con continuità (cioè se \(\phi\) soddisfa la 1), si troveranno due versori tangenti diversi in \(o\), a seconda che si consideri tale punto come immagine di \(t_1\) o di \(t_2\) (perciò \(\phi\) non soddisfa la 2).