Definizione di multipli usando assiomi di hilbert
Salve a tutti. Ho postato questa domanda perchè non sono pratico di sistemi formali di assiomi. Leggendo i fondamenti di geometria di hilbert mi piacerebbe ricavare tutti i risultati della geometria euclidea usando i metodi di geometria sintetica. Mi sono incappato in un punto, magari un bruscolino. Tuttavia non riesco a venirne in fuori. Il problema è quello di definire i multipli di un segmento. Dagli assiomi di congrenza potremmo dire:
1) $OQ\equiv AB$ è multiplo di $AB$
2) Se $P$ è compreso fra $O$ e $Q$ , se $OP$ è multiplo di $AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$.
[/list:u:1wkqog2d]
Quando si definisce i naturali dai reali prima si introducono gli insiemi induttivi ( $A$ è induttivo se: 1) $1\in A$, 2) $ x\in A \rightarrow x+1 \in A$) e poi si dicono naturali l'insieme induttivo più piccolo.
Il problema sorge quando devo ricavare dalla definizione sopra e dagli assiomi di hilbert il
Teorema di induzione: Sia $(P_n)$ una famiglia di proposizioni. Se
a) $P_1$ è vera;
b) Per ogni $n$ $P_n$ implica $P_{n+1}$ allora $P_n$ è vera $\forall n$
[/list:u:1wkqog2d]
il quale mi permette di dimostrare tramite induzione teoremi come la somma di due multipli di $AB$ è un multiplo di $AB$. Ovviamente nel teorema di induzione $1$ significa congruente ad $AB$ e la seconda significa che se una proposizione si suppone vera per un multiplo di $AB$ allora è vera per il multiplo successivo. Questa difficoltà che trovo è un mio errore o è dovuta all'espressività degli assiomi di hilbert? Se non è così potreste farmi vedere come sistemare il dilemma sopra e farmi vedere come si ricava il teorema di induzione (ovviamente nel linguaggio degli assiomi di hilbert quindi non tirando in ballo i naturali) ed in particoare come dimostrare che la somma di due multipli è un multiplo? Usando solo gli assiomi di hilbert non posso parlare di famiglia di proposizioni.
Risposte
Mi sembra difficile parlare di multipli senza usare gli assiomi di continuità. In particolare mi sembra tu stia cercando di dimostrare l'assioma archimedeo usando gli altri assiomi oppure aggiungendone altri esterni.
[xdom="vict85"]Sposto in geometria[/xdom]
[xdom="vict85"]Sposto in geometria[/xdom]
No l'assioma di archimede è ok. Si esprime bene con il linguaggio degli assiomi di hilbert. Il problema è, una volta introdotto il multiplo, provare il teorema di ricorsione che mi permette di fare le dimostrazioni per induzione. Prendiamo ad esempio la somma di due multipli:
Teorema Sia $D$ compreso fra $C$ ed $E$. Se $CD$ e $DE$ sono multipli di $AB$ allora pure $CE$ è multiplo di $AB$.
Dim. La dimostrazione dovrebbe avvenire per induzione, ovvero se $DE \equiv AB$ l'affermazione è vera per la definizione che ho dato. Supponendo che l'enunciato sia vero per un generico multiplo $DE$ di $AB$ ciò implica che sia vero pure per $DE^{\prime} = DE +$ EE' con EE' $\equiv AB$ . Anche la parte di dimostrazione in grassetto è dimostrabile tramite la definizione di multiplo data.
Si noti che la parte di dimostrazione in neretto è la seconda parte del teorema di induzione ( supponiamo che la proposizione vera per $n$ implichi che sia vera per $n+1$, allora è vera per ogni intero) nel linguaggio dei segmenti. Il punto è che dovrei dimostrare (nel linguaggio della geometria e quindi coi segmenti) che se la proposizione è vera per $DE\equiv AB$ e se suppongo che sia vero per un multiplo $DE$ di $AB$ implica che sia vero anche per il "successivo" di $DE$ ovvero $DE^{\prime}$ allora è vero per tutti i multipli di $AB$. Ovvero devo dimostrare, con i segmenti senza usare i numeri naturali, il teorema di ricorsione. Come posso fare ciò senza usare il linguaggio delle proposizioni e dei numeri naturali?
Teorema Sia $D$ compreso fra $C$ ed $E$. Se $CD$ e $DE$ sono multipli di $AB$ allora pure $CE$ è multiplo di $AB$.
Dim. La dimostrazione dovrebbe avvenire per induzione, ovvero se $DE \equiv AB$ l'affermazione è vera per la definizione che ho dato. Supponendo che l'enunciato sia vero per un generico multiplo $DE$ di $AB$ ciò implica che sia vero pure per $DE^{\prime} = DE +$ EE' con EE' $\equiv AB$ . Anche la parte di dimostrazione in grassetto è dimostrabile tramite la definizione di multiplo data.
Si noti che la parte di dimostrazione in neretto è la seconda parte del teorema di induzione ( supponiamo che la proposizione vera per $n$ implichi che sia vera per $n+1$, allora è vera per ogni intero) nel linguaggio dei segmenti. Il punto è che dovrei dimostrare (nel linguaggio della geometria e quindi coi segmenti) che se la proposizione è vera per $DE\equiv AB$ e se suppongo che sia vero per un multiplo $DE$ di $AB$ implica che sia vero anche per il "successivo" di $DE$ ovvero $DE^{\prime}$ allora è vero per tutti i multipli di $AB$. Ovvero devo dimostrare, con i segmenti senza usare i numeri naturali, il teorema di ricorsione. Come posso fare ciò senza usare il linguaggio delle proposizioni e dei numeri naturali?
Prima di tutto non ho capito le tue due prime frasi. L'assioma di Archimede fa parte di quelli di Hilbert.
Detto questo, non vedo perché tu abbia bisogno dell'induzione. Con multiplo intendi multiplo intero?
Comunque, in un caso dividi \(CD\) in \(n\) segmenti congruenti a \(AB\), nel secondo hai \(m\) segmenti congruenti ad \(AB\). Quello che ti rimane da dimostrare è che i primi \(n\) segmenti sono gli stessi in entrambi i casi.
Detto questo, non vedo perché tu abbia bisogno dell'induzione. Con multiplo intendi multiplo intero?
Comunque, in un caso dividi \(CD\) in \(n\) segmenti congruenti a \(AB\), nel secondo hai \(m\) segmenti congruenti ad \(AB\). Quello che ti rimane da dimostrare è che i primi \(n\) segmenti sono gli stessi in entrambi i casi.
Forse non mi sono fatto capire bene, mi sono espresso in modo impulsivo. Volevo provare che la somma di due multipli di $AB$ è ancora un multiplo di $AB$ usando gli assiomi di Hilbert, ovvero usando soltanto la geometria sintetica la quale non fa uso di numeri, ma soltanto confronta fra loro segmenti. L'impressione che spunta inizialmente è questa. Gli assiomi di congruenza ti permettono di costruire i multipli di un segmento, giusto? Siamo abbituati, solitamente nei corsi di matematica , a partire dall'analisi e quindi definire i naturali come il più piccolo insieme induttivo. Successivamente si verifica che il più piccolo insieme induttivo soddisfa il teorema di ricorsione, ovvero sia $P(n)$ un predicato. supponiamo che:
1) $P(1)$
2) $P(n) \rightarrow P(n+1)$
[/list:u:1k4hz90k]
Allora $P(n)$ è vero per ogni $n\in N$.
Adesso l'analogo problema su campo reale è il seguente: Se $a,b\in R$ e $a+b=c$ allora $na + nb = nc$, $\forall n\in N$. Nel caso dei numeri reali ciò si prova banalmente usando le proprietà delle operazioni oppure è possibile anche usare l'induzione su $n$: per $n=1$ è vera per definizione di $c$. In oltre supponendo vero $ na+nb=nc$ ciò implica $(n+1)a+(n+1)b = na + nb + a + b = (n+1)c$. dunque $na+nb=nc$ è vera per ogni naturale.
In geometria dobbiamo invece usare gli assiomi di hilbert. Perciò il risultato non può essere dimostrato usando le proprietà delle operazioni. L'unica operazione che si definisce è soltanto la somma di segmenti. Possiamo definire il multiplo di un segmento tramite ricorsione, ovvero:
Definizione:
1) $OQ\equiv AB$ è un multiplo di $AB$
2) Dati $O,P,Q$, se $OP$ è un multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è anch'esso multiplo di $AB$
[/list:u:1k4hz90k]
La prima cosa che salta in mente è dimostrare il teorema dei multipli tramite ricorsione. Ma prima ancora va dimostrato il teorema di ricorsione. Come posso fare ciò con gli assiomi di hilber? In oltre si noti che nel teorema di ricorsione viene fatta menzione di un predicato $P(n)$. Gli assiomi di hilbert non lavorano coi predicati e nemmeno con i numeri naturali, ma solo con segmenti. In altre parole predicati e numeri naturali sono estranei al linguaggio degli assiomi di hilbert. Per questo all'inizio avevo chiesto se fosse stato un problema di espressività degli assiomi di hilbert. C'è qualcosa che non va bene nel mio ragionamento? Come posso provare che che la somma di due multipli è un multiplo?
VICT 85 non ho capito come il tuo ragionamento possa provare l'asserto partendo dalla definizione data di multiplo.
Non è vero che stai usando solo gli assiomi di Hilbert. Stai, come minimo, anche usando una qualche logica e forse qualcosa della teoria degli insiemi 
. Tutto sommato persino l'insieme dei numeri interi quando affermi che "Tre punti non allineati dello spazio individuano un piano" (definire formalmente quella proposizione senza usare i numeri è possibile ma certo molto tedioso) o all'interno dell'assioma di Archimede.
Effettivamente però la tua definizione è ricorsiva, la domanda quindi è se sia valido, nel particolare sistema logico che stai considerando, definire qualcosa ricorsivamente. Inoltre, stai definendo un insieme, ma gli assiomi di Hilbert non parlano di insiemi.
Tieni conto che gli assiomi sono spesso esposti in maniera molto più discorsiva di quello che sarebbe davvero necessario se si volesse scrivere il tutto formalmente usando solo la logica di primo grado.
. Tutto sommato persino l'insieme dei numeri interi quando affermi che "Tre punti non allineati dello spazio individuano un piano" (definire formalmente quella proposizione senza usare i numeri è possibile ma certo molto tedioso) o all'interno dell'assioma di Archimede.Effettivamente però la tua definizione è ricorsiva, la domanda quindi è se sia valido, nel particolare sistema logico che stai considerando, definire qualcosa ricorsivamente. Inoltre, stai definendo un insieme, ma gli assiomi di Hilbert non parlano di insiemi.
Tieni conto che gli assiomi sono spesso esposti in maniera molto più discorsiva di quello che sarebbe davvero necessario se si volesse scrivere il tutto formalmente usando solo la logica di primo grado.
Vict85 volevo chiederti se sai come poter abbordare questo tipo di dimostrazioni. Magari hai consultato un libro o hai, per diletto, ricavato i risultati della geometria classica facendo leva solo sugli assiomi di hilbert. Ho letto in giro, se non mi sbaglio, che gli assiomi di hilbert (h.) sono sufficienti per ricavare i numeri reali. Il secondo assioma di completezza viene espresso tramite la logica del secondo ordine. Esistono però anche gli assiomi di Tarski i quali si esprimono al primo ordine, ma per ora lasciamo stare questi. Comunque l'induzione mi sembra estranea al linguaggio degli assiomi h. Per lo meno per quanto riguarda i predicati che non dovrebbero rientrare nel linguaggio. Se escludiamo l'induzione la cosa che rimane è l'assioma di archimede (ammesso che dia qualcosa, dovrei ragionarci sopra). Da questo si potrebbe ricavare l'algoritmo della divisione euclidea...... Vorrei arrivare alla teoria delle proporzioni (alla Eudosso però e non con i numeri reali!), ed introdurre il pi greco. Conosci un qualche libro che espone il percorso o qualche file in internet?
Ah dimenticavo. Quando definisco ricorsivamente i multipli di un segmento non faccio appello a nessun insieme! Lavoro solo coi segmenti. Quando devo esprimere che ci sono tre punti non allineati non faccio in realtà riferimento al numero tre. Difatti se scrivo:
$$\forall a,b\in r \exists c\notin r $$
ove $\in$ non è inteso come simbolo di appartenenza, ma di giacere su una retta che è una delle proprietà primitive espresse da hilbert nei fondamenti!
Ah dimenticavo. Quando definisco ricorsivamente i multipli di un segmento non faccio appello a nessun insieme! Lavoro solo coi segmenti. Quando devo esprimere che ci sono tre punti non allineati non faccio in realtà riferimento al numero tre. Difatti se scrivo:
$$\forall a,b\in r \exists c\notin r $$
ove $\in$ non è inteso come simbolo di appartenenza, ma di giacere su una retta che è una delle proprietà primitive espresse da hilbert nei fondamenti!
Provo a dare una dimostrazione. Sembra tanto che mi stia però perdendo.......Riposto tutte le definizioni per avere il quadro completo.
Definizione 1: Se:
Lemma 1: Per ogni segmento $HL$, multiplo di $AB$, esiste un punto $K$ coincidente con $L$ o compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HK\equiv AB$ oppure $KL\equiv AB$.
Dim. Se $HL\equiv AB$ allora $K=L$ per la 1) della definizione 1. Se $HL\ne AB$ per la 2) della definizione 1 esiste un $X$ compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HX$ è multiplo di $AB$ e $XL\equiv AB$. In tal caso $K=X$.
(fine dimostrazione).
Proposizione 1: Se $D$ è compreso fra $C$ ed $E$ e se $CD$ e $DE$ sono multipli di $AB$ allora pure $CE$ lo è.
Dim. Se $DE\equiv AB$è vera per la definizione 1. Occorre perciò trattare il caso $DE\ne AB$. Per il lemma 1 esiste un $H$ compreso fra $D$ ed $E$ tale che $HE\equiv AB$. Dobbiamo provare che $CH$ è un multiplo di $AB$. Se $DH\equiv AB$ allora $CH$ è un multiplo di $AB$. Sia ora $Q'$ tale che $D
Può andare ? In tal modo dovrei avere dimostrato che la somma di due multipli è un multiplo usando soltanto gli assiomi di hilbert
Definizione 1: Se:
- 1) $OQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$
2) dato $P$ compreso fra $O$ e $Q$ $OP$ è multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$
[/list:u:3eos3y0s]
Lemma 1: Per ogni segmento $HL$, multiplo di $AB$, esiste un punto $K$ coincidente con $L$ o compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HK\equiv AB$ oppure $KL\equiv AB$.
Dim. Se $HL\equiv AB$ allora $K=L$ per la 1) della definizione 1. Se $HL\ne AB$ per la 2) della definizione 1 esiste un $X$ compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HX$ è multiplo di $AB$ e $XL\equiv AB$. In tal caso $K=X$.
(fine dimostrazione).Proposizione 1: Se $D$ è compreso fra $C$ ed $E$ e se $CD$ e $DE$ sono multipli di $AB$ allora pure $CE$ lo è.
Dim. Se $DE\equiv AB$è vera per la definizione 1. Occorre perciò trattare il caso $DE\ne AB$. Per il lemma 1 esiste un $H$ compreso fra $D$ ed $E$ tale che $HE\equiv AB$. Dobbiamo provare che $CH$ è un multiplo di $AB$. Se $DH\equiv AB$ allora $CH$ è un multiplo di $AB$. Sia ora $Q'$ tale che $D
Può andare ? In tal modo dovrei avere dimostrato che la somma di due multipli è un multiplo usando soltanto gli assiomi di hilbert
Guarda, potrei aiutarti, ma al momento sono preso e sto scorrendo delle discusioni nei brevi tempi morti. Magari per le vacanze pasquali troverò del tempo. Vado a ripescare un lavoro che ho fatto con gli assiomi di Hilbert e vediamo. 
Va bene?
Va bene?
Ti ringrazio Indrjo!!! 
Ti sto aspettando con trepidazione, mi piacerebbe sbrogliare la matassa! Ciò che mi piacerebbe sapere fondamentalmente sarebbe se posso parlare di multipli (e di dimostrazioni per induzione) usando soltanto la logica aristotelica ed il linguaggio degli assiomi di hilbert senza usare quindi il linguaggio degli insiemi. Attendo con ansia una tua risposta per le vacanze pasquali. Intanto auguri!
Ti sto aspettando con trepidazione, mi piacerebbe sbrogliare la matassa! Ciò che mi piacerebbe sapere fondamentalmente sarebbe se posso parlare di multipli (e di dimostrazioni per induzione) usando soltanto la logica aristotelica ed il linguaggio degli assiomi di hilbert senza usare quindi il linguaggio degli insiemi. Attendo con ansia una tua risposta per le vacanze pasquali. Intanto auguri!
Vediamo... La matassa si sbroglia spesso esplodendo tutto (in senso metaforico, ovvio).
Fermiamoci già qua. Poi tutto il resto si vedrà dopo.
, tutto il resto segue a ruota.
Vediamo di proseguire...
La definizione che hai dato è induttiva, non formulabile quindi all'interno dell'assiomatica di Hilbert. Quello che tenti di dimostrare può essere anche corretto, ma il punto di partenza è quello che è. Di nuovo: che facciamo? Vogliamo arricchire l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistente? A te la scelta
Fermiamoci già qua. Poi tutto il resto si vedrà dopo.
"astrifiammante":Ok, questa è una possibile definizione di multiplo. Vuoi o non vuoi questa definizione è induttiva. Mettere questa definizione avendo assunto l'assiomatica di Hilbert è un'indelicatezza bella grossa: semplicemente gli assiomi di Hilbert non contemplano l'assioma di induzione e questo assioma è essenziale per la dimostrazione del teorema di ricorsione, il quale giustifica le definizioni ricorsive. Il problema definitorio è cruciale, se no parliamo di fuffa. Che facciamo? Vogliamo potenziare l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione nel linguaggio già esistente? Come puoi vedere qualcun altro si è posto il tuo dubbio, ma non ci sono state risposte (purtroppo). Questo link è molto interessante, prendilo in considerazione. A te la scelta
[...]
1) $OQ\equiv AB$ è un multiplo di $AB$
2) Dati $O,P,Q$, se $OP$ è un multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è anch'esso multiplo di $AB$
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, tutto il resto segue a ruota.Vediamo di proseguire...
"astrifiammante":
Definizione 1: Se:
1) $OQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$
2) dato $P$ compreso fra $O$ e $Q$ $OP$ è multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$
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Lemma 1: Per ogni segmento $HL$, multiplo di $AB$, esiste un punto $K$ coincidente con $L$ o compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HK\equiv AB$ oppure $KL\equiv AB$.
Dim. Se $HL\equiv AB$ allora $K=L$ per la 1) della definizione 1. Se $HL\ne AB$ per la 2) della definizione 1 esiste un $X$ compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HX$ è multiplo di $AB$ e $XL\equiv AB$. In tal caso $K=X$.
La definizione che hai dato è induttiva, non formulabile quindi all'interno dell'assiomatica di Hilbert. Quello che tenti di dimostrare può essere anche corretto, ma il punto di partenza è quello che è. Di nuovo: che facciamo? Vogliamo arricchire l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistente? A te la scelta
Ciao Indrjo, scusa per il ritardo ma sono stato un po impegnato. Purtroppo sto masticando adesso le prime nozioni di fondamenti e dunque non sono molto allenato ma mi piacerebbe capire. Primo step. Non ho capito bene perchè non è lecita la definizione che ho dato di multiplo. Essa dovrebbe essere lecita se, oltre agli assiomi di hilbert, introduco gli assiomi logici e regole di deduzione logica del primo ordine........oops ed è questo il punto col principio di induzione sono in una logica del secondo ovvero devo lavorare con sottinsiemi di insiemi. Devo per forza tirare in ballo con la logica del secondo ordine il linguaggio degli insiemi? I greci non lavoravano e non conoscevano gli insiemi! anche se.... implicitamente la usavano negli elementi di euclide, parlavano di numeri. Altra domanda attinente, non posso introdurre in oltre assiomaticamente i numeri naturali senza far uso del linguaggio degli insiemi?
Step 2 cosa intendi con le due strade
Step 3 Vorrei in fine arrivare a dimostrare la divisione di euclide (sempre solo con i segmenti) e vedere qual è il meccanismo che mi permette di stabilire se due segmenti sono incommensurabili (se a tal proposito è possibile usare la discesa infinita o un suo surrogato GEOMETRICO con i segmenti in base agli assiomi della geometria che stabilisco). In questo ambito dovrebbe giocare un ruolo importante l'assioma di archimede. Dulcis in fundo vorrei arrivare a dimostrare l'esistenza dei sottomultipli. Dovrei riuscirci attraverso l'assioma di cantor e l'esistenza del punto medio di un segmento. Altrimenti dimmi Se è più elegante usare un altro assioma. In fine fine fine.... arrivare con gli strumenti costruiti a definire la lunghezza della circonferenza.
Scusa per la valanga di domande ma come hai ben capito è un groooossso nodo.
Post scrittum: Riprendo qui sotto una domanda precedentemente sollevata che non ti ho esposto completamente per non farti casino. La definizione di multiplo che ho dato dovrebbe però rientrare in uno schema del primo ordine, ovvero per darla sono sufficienti gli assiomi logici del primo ordine e quelli di hilbert no? Con questi due punti si DIMOSTRA (usando hilbert) l'esistenza di 1 e del successivo di un naturale. E' anche poi possibile provare, dagli assiomi di hilbert, che se i successivi sono congruenti lo sono pure i precedenti e che non esiste nessun numero il cui successivo è 1. Tutte queste proprietà sono al primo ordine. Mi sembrerebbe a tal punto sovrabbondante il principio di induzione a meno che....... la mia definizione non escluda altri segmenti multipli (che in realtà non sono multipli) i quali vengono tolti dal principio di induzione. Ho problemi su tale punto.......cosa mi puoi dire?
Step 2 cosa intendi con le due strade
Vogliamo arricchire l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistenteVorrei sapere se è possibile fare geometria usando soltanto i segmenti , introducendo le proporzioni alla maniera di eudosso senza introdurre numeri naturali e razionali. Comunque dimmi quali sono entrambe le strade da percorrere.
Step 3 Vorrei in fine arrivare a dimostrare la divisione di euclide (sempre solo con i segmenti) e vedere qual è il meccanismo che mi permette di stabilire se due segmenti sono incommensurabili (se a tal proposito è possibile usare la discesa infinita o un suo surrogato GEOMETRICO con i segmenti in base agli assiomi della geometria che stabilisco). In questo ambito dovrebbe giocare un ruolo importante l'assioma di archimede. Dulcis in fundo vorrei arrivare a dimostrare l'esistenza dei sottomultipli. Dovrei riuscirci attraverso l'assioma di cantor e l'esistenza del punto medio di un segmento. Altrimenti dimmi Se è più elegante usare un altro assioma. In fine fine fine.... arrivare con gli strumenti costruiti a definire la lunghezza della circonferenza.
Scusa per la valanga di domande ma come hai ben capito è un groooossso nodo.
Post scrittum: Riprendo qui sotto una domanda precedentemente sollevata che non ti ho esposto completamente per non farti casino. La definizione di multiplo che ho dato dovrebbe però rientrare in uno schema del primo ordine, ovvero per darla sono sufficienti gli assiomi logici del primo ordine e quelli di hilbert no? Con questi due punti si DIMOSTRA (usando hilbert) l'esistenza di 1 e del successivo di un naturale. E' anche poi possibile provare, dagli assiomi di hilbert, che se i successivi sono congruenti lo sono pure i precedenti e che non esiste nessun numero il cui successivo è 1. Tutte queste proprietà sono al primo ordine. Mi sembrerebbe a tal punto sovrabbondante il principio di induzione a meno che....... la mia definizione non escluda altri segmenti multipli (che in realtà non sono multipli) i quali vengono tolti dal principio di induzione. Ho problemi su tale punto.......cosa mi puoi dire?
Aggiungo alle domande che ti ho precedentemente fatto: come prima opzione proviamo dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistente.
Calma, calma...
A questo punto: cosa studi?
Il consiglio mio quindi è: non mettere tanta carne sul fuoco, altrimenti lo spegni
. Piuttosto fai un po' di logica. Non c'è bisogno che tu mi parli di logica di primo o secondo ordine, ma che tragga come lezione che la matematica è liberamente manipolabile. Questo che stai facendo va bene. Solo non mettere troppe cose ammucchiate, concentrati su una cosa alla volta.
Siamo alla definizione di multiplo. Gli assiomi di Hilbert non contemplano il principio di induzione e quindi formulare una definizione induttiva lì dentro "stona" perché non è formulabile in maniera rigorosa. Per fare un paragone è come se tu, parlando in italiano, cambiassi all'improvviso lingua e parlassi in cinese. Le vie sono due: riformulare la definizione secondo l'assiomatica esistente (guarda il link che ti ho suggerito) oppure arricchirla. Quest'ultima azione è "pericolosa" (non ti do dettagli perché forse è troppo presto, ma: chi ti dice che genero una teoria coerente così facendo?) e abbastanza snervante (potrebbero essere necessarii altri assiomi che garantiscano l'integrazione del nuovo assioma con quelli già presenti).
PS: che io sappia l'esistenza dei sottomultipli è garantita da un assioma (che dice appunto questo).
A questo punto: cosa studi?
"astrifiammante":Si vede, infatti. E i grossi nodi si sbrogliano con molta pazienza. Quello che emerge è che stai mischiando in maniera grossolana molte cose diverse (ad esempio numeri naturali e segmenti). Devi mettere ordine e procedere senza fretta facendo attenzione ad ogni singolo passo. Hai mai fatto logica? Ma seriamente, non quelle cosine che in genere si fanno all'inizio in analisi o algebra... Quello stai pretendendo di capire richiede un livello un po' più avanzato: in questo contesto la tua attenzione si è spostata (se non te ne sei accort*, adesso lo sai) da un livello (mera sequenza teorema-dimostrazione) ad un altro un po' più alto (fondazionale-strutturale). E quello che uno fa a questo punto è quello di giocare con la teoria, smontarla e rimontarla in maniera magari diversa. È un atteggiamento che si acquisisce con tante fatiche ma ce la si può fare.
Purtroppo sto masticando adesso le prime nozioni di fondamenti e dunque non sono molto allenato ma mi piacerebbe capire.
Il consiglio mio quindi è: non mettere tanta carne sul fuoco, altrimenti lo spegni
. Piuttosto fai un po' di logica. Non c'è bisogno che tu mi parli di logica di primo o secondo ordine, ma che tragga come lezione che la matematica è liberamente manipolabile. Questo che stai facendo va bene. Solo non mettere troppe cose ammucchiate, concentrati su una cosa alla volta.Siamo alla definizione di multiplo. Gli assiomi di Hilbert non contemplano il principio di induzione e quindi formulare una definizione induttiva lì dentro "stona" perché non è formulabile in maniera rigorosa. Per fare un paragone è come se tu, parlando in italiano, cambiassi all'improvviso lingua e parlassi in cinese. Le vie sono due: riformulare la definizione secondo l'assiomatica esistente (guarda il link che ti ho suggerito) oppure arricchirla. Quest'ultima azione è "pericolosa" (non ti do dettagli perché forse è troppo presto, ma: chi ti dice che genero una teoria coerente così facendo?) e abbastanza snervante (potrebbero essere necessarii altri assiomi che garantiscano l'integrazione del nuovo assioma con quelli già presenti).
PS: che io sappia l'esistenza dei sottomultipli è garantita da un assioma (che dice appunto questo).
Ciao indrjo. In effetti studio fisica, ma mi sono appassionato alla matematica. Corsi di logica non ne ho fatti, ma ho cominciato ad acquisire materiale mi sono appassionato alla problematica. Mi piacerebbe sistemare così tutti i diversi rami. Comunque cominciamo col definire multipli dall'assiomatica di hilbert.
PS: Il therad che mi avevi segnalato su mathstackexcange è mio, ho posto la mia domanda in diverse parti nella speranza che, nonostante fosse troppo banale
, qualcuno mi rispondesse. Comunque come sfrutto lo statement che ho qui dato? https://math.stackexchange.com/questions/2833329/definition-multiple-of-a-segment-using-hilbert-axioms.
PS: Il therad che mi avevi segnalato su mathstackexcange è mio, ho posto la mia domanda in diverse parti nella speranza che, nonostante fosse troppo banale
, qualcuno mi rispondesse. Comunque come sfrutto lo statement che ho qui dato? https://math.stackexchange.com/questions/2833329/definition-multiple-of-a-segment-using-hilbert-axioms.
"astrifiammante":Ah, ecco. Cominciavo ad avere qualche dubbio.
Il therad che mi avevi segnalato su mathstackexcange è mio.
"astrifiammante":Per cosa? Scusami. Assumendo quella definizione con 1 e 2' si riesce a provare che la somma di due multiplli è un multiplo.
Comunque come sfrutto lo statement che ho qui dato?
Si, se uso 2' al posto di 2 il lemma della somma di due multipli è già dimostrato. Ma quello che volevo dire è che mi occorre pur sempre l'induzione per ad esempio introdurre il pi greco con la lunghezza ddei poigoni inscritti e circoscritti.
In più come faccio a dire che il processo fra il confronto fra due segmenti è finito o no (se sono commensurabili o no) senza l'induzione? Prendiamo ad esempio la diagonale del quadrato (non però usando l'aritmetica numeri primi ecc. ma l'algoritmo di divisione di euclide!) o del pentagono.
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