Definizione di conica
I miei appunti definiscono una conica come "ogni linea piana algebrica del secondo ordine"
Ma quindi la circonferenza e' una conica? Se si', perche' viene sempre presentata e trattata separatamente da parabola/elisse/iperbole?
Ma quindi la circonferenza e' una conica? Se si', perche' viene sempre presentata e trattata separatamente da parabola/elisse/iperbole?
Risposte
La circonferenza è una conica, che si ottiene geometricamente dall'intersezione di una superficie conica ed un piano parallelo alla base del cono.
Io poi so che viene trattata sempre insieme alle altre coniche proprio per questo motivo..
Boh
Io poi so che viene trattata sempre insieme alle altre coniche proprio per questo motivo..
Boh
Che brutta definizione.
Una conica e' la classe di equivalenza di una forma quadratica su un campo di dimensione 2.
Ergo: la circonferenza e' una conica.
Platone
Una conica e' la classe di equivalenza di una forma quadratica su un campo di dimensione 2.
Ergo: la circonferenza e' una conica.
Platone
Grazie per il chiarimento
Per Platone : che difficile definizione la tua! spiega la conica a chi già sa cos' è !
Altrimenti andrebbe spiegato che cosa significhi :
* classe di equivalenza
* forma quadratica
* campo di dimensione 2
Poi si dice che la matematica è difficile e gli studenti si sentono respinti : e lo credo, con queste definizioni .
Non sarebbe il caso di rendere la matematica più accessibile, riservando definizioni come questa a un livello di studi più avanzato?
A me sembra più naturale dire che le coniche sono le intersezioni ottenute tagliando una superficie conica con un piano .
Un 'ellisse che abbia uguali gli assi minore e maggiore è una circonferenza ; da ciò consegue che la circonferenza è un caso particolare di ellisse.
Camillo
Altrimenti andrebbe spiegato che cosa significhi :
* classe di equivalenza
* forma quadratica
* campo di dimensione 2
Poi si dice che la matematica è difficile e gli studenti si sentono respinti : e lo credo, con queste definizioni .
Non sarebbe il caso di rendere la matematica più accessibile, riservando definizioni come questa a un livello di studi più avanzato?
A me sembra più naturale dire che le coniche sono le intersezioni ottenute tagliando una superficie conica con un piano .
Un 'ellisse che abbia uguali gli assi minore e maggiore è una circonferenza ; da ciò consegue che la circonferenza è un caso particolare di ellisse.
Camillo
Sono d'accordo con Camillo!
Intuituivamente vedevo la circonferenza come un caso speciale di ellisse ma non capivo perche' il mio testo trattasse prima la circoferenza da sola(derivandola come luogo geometrico dei punti distanti r da un dato C) in un capitolo e poi le "coniche" (cioe' parabola/ellisse/iperbole definite tramite fuoco/direttrice etc) in un capitolo a parte senza mai menzionare la circonferenza...
Grazie ancora
Grazie ancora
E' ovvio che le parole che ho usato se uno non le ha mai sentite non le capisce. La definizione di conica ottenuta tagliando una superficie conica con un piano e' ovviamente coretta; ma vorrei spiegare perche' ho sottolineato quella definizione:
1. Il topic e' stato postato nella sezione Universita';
2.La definizione di conica con le superfici coniche ha un "ambiene naturale" diverso, ossia lo spazzio tridimensionale "puro" (quello di Euclide per intenderci), ma nei corsi universitari (anche in quelli piu' semplici, che io sappia) non e' questo il punto di vista; le cose vengono viste all'interno degli spazi vettoriali, cosi' come il piano non viene visto come.. non so neanche come spiegarlo, ma mi sto riferendo al piano come superfice infinita con due sole dimensioni, sul quale poi si puo' mettere un sistemadi riferimento cartesiano; il piano viene visto come R^2 direttamente; o ancore, sempre in quest'ottica il punto non viene definito come "l'ente geometrico privo di dimensioni" ma come un elemento di R^2 (o di qualsiasi altro spazio vettoriale);
3. in questo contesto (e se leggi la traccia del topic e' evidente che e' questo) la nozione di "linea piana algebrica del secondo ordine" mi sembra una brutta definizione (anche se magari, sotto un ben determinato aspetto, corretta).
Platone
1. Il topic e' stato postato nella sezione Universita';
2.La definizione di conica con le superfici coniche ha un "ambiene naturale" diverso, ossia lo spazzio tridimensionale "puro" (quello di Euclide per intenderci), ma nei corsi universitari (anche in quelli piu' semplici, che io sappia) non e' questo il punto di vista; le cose vengono viste all'interno degli spazi vettoriali, cosi' come il piano non viene visto come.. non so neanche come spiegarlo, ma mi sto riferendo al piano come superfice infinita con due sole dimensioni, sul quale poi si puo' mettere un sistemadi riferimento cartesiano; il piano viene visto come R^2 direttamente; o ancore, sempre in quest'ottica il punto non viene definito come "l'ente geometrico privo di dimensioni" ma come un elemento di R^2 (o di qualsiasi altro spazio vettoriale);
3. in questo contesto (e se leggi la traccia del topic e' evidente che e' questo) la nozione di "linea piana algebrica del secondo ordine" mi sembra una brutta definizione (anche se magari, sotto un ben determinato aspetto, corretta).
Platone
Vedi Platone, è vero che siamo nella sezione Università, ma se un Forumista chiede chiarimenti sulle coniche
e in particolare se la circonferenza sia o meno una conica, devo dedurre che è " alle prime armi " (sigma non me ne voglia ).
Una risposta come la tua, formalmente correttissima,di certo non gli ha chiarito le idee perchè non ha ancora il necessario background per comprendere appieno i tre concetti che stanno alla base della tua risposta( e di nuovo sigma non me ne voglia ) :
*classe di equivalenza
*forma quadratica
*campo di dimensione due
Platone , sia chiaro nulla di personale in questa mia risposta, ma mi sembra che i nefasti influssi del Bourbakismo siano
più che mai presenti .
Per concludere, secondo me, prima si dà la spiegazione più semplice e comprensibile ; poi, se si vuole, si dà anche quella più formale .
Comunque nel caso specifico non si peccava di eccessivo formalismo ?
Per spiegare un concetto se ne tiravano in ballo altri tre e non banali!
Il mio messaggio è che le risposte a una domanda devono essere più calibrate e adattate alle circostanze.
Camillo
e in particolare se la circonferenza sia o meno una conica, devo dedurre che è " alle prime armi " (sigma non me ne voglia ).
Una risposta come la tua, formalmente correttissima,di certo non gli ha chiarito le idee perchè non ha ancora il necessario background per comprendere appieno i tre concetti che stanno alla base della tua risposta( e di nuovo sigma non me ne voglia ) :
*classe di equivalenza
*forma quadratica
*campo di dimensione due
Platone , sia chiaro nulla di personale in questa mia risposta, ma mi sembra che i nefasti influssi del Bourbakismo siano
più che mai presenti .
Per concludere, secondo me, prima si dà la spiegazione più semplice e comprensibile ; poi, se si vuole, si dà anche quella più formale .
Comunque nel caso specifico non si peccava di eccessivo formalismo ?
Per spiegare un concetto se ne tiravano in ballo altri tre e non banali!
Il mio messaggio è che le risposte a una domanda devono essere più calibrate e adattate alle circostanze.
Camillo
sì, sì, Bourbaki imperversa ancora!
tony
tony
L'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali la somma delle due distanze da due punti fissati del piano, detti fuochi, è costante. Se prendi i due fuochi coincidenti, ottieni la definizione della circonferenza.....
camillo sul discorso generale sono daccordo con te.
Ma il punto è che con quella mia risposta non volevo "chiarire" il concetto di conica, e neanche (anche se la mia risposta si concludeva con "Ergo: la circonferenza è una conica") rispondere alla domanda di sigma, sia perchè per farlo sarebbe bastato anche solo un si o un no, sia perchè lo aveva già fatto cavalli.
Volevo solo contrappore alla definizione di conica data da sigma un'altra (che ritengo "migliore"). Ora, non potevo certo dire solo "che brutta definizione senza aggiungere altro (sarebbe stata un'offesa, o cmq una critica, gratuita), ne potevo rispondere con la storia delle superfici coniche, dato che appartiene ad un altro punto di vista (geometrico e non algebrico-analitico). Alla definizione di conica come "linea piana algebrica del second'ordine", ne ho contrapposto un'altra "sullo stesso stile". Ti faccio notare che i concetti di
* linea algebrica
* second'ordine
anche se più famigliari e/o intuitivi all'orecchio, non sono certo più semplici di quelli che ho usato io.
Platone
Ma il punto è che con quella mia risposta non volevo "chiarire" il concetto di conica, e neanche (anche se la mia risposta si concludeva con "Ergo: la circonferenza è una conica") rispondere alla domanda di sigma, sia perchè per farlo sarebbe bastato anche solo un si o un no, sia perchè lo aveva già fatto cavalli.
Volevo solo contrappore alla definizione di conica data da sigma un'altra (che ritengo "migliore"). Ora, non potevo certo dire solo "che brutta definizione senza aggiungere altro (sarebbe stata un'offesa, o cmq una critica, gratuita), ne potevo rispondere con la storia delle superfici coniche, dato che appartiene ad un altro punto di vista (geometrico e non algebrico-analitico). Alla definizione di conica come "linea piana algebrica del second'ordine", ne ho contrapposto un'altra "sullo stesso stile". Ti faccio notare che i concetti di
* linea algebrica
* second'ordine
anche se più famigliari e/o intuitivi all'orecchio, non sono certo più semplici di quelli che ho usato io.
Platone
Platone, pur capendo il tuo desiderio di dare una definizione algebrico analitica, mi chiedo perchè mai una definizione come la tua sia così " unfriendly ";a volte mi chiedo veramente perchè mai si debbano dare definizioni così " difficili" e quale ne sia lo scopo: certamente non il farsi capire, perché è chiaro che la "tua" definizione può essere compresa solo da chi già sa cosa sia una conica e abbia anche un bagaglio di conoscenze matematiche non banale. E' la necessità di estremo rigore forse ? Però ritengo ci siano altri modi più semplici per essere rigorosi.
La definizione che hai dato echeggia, a mio avviso, una definizione facente parte di un testo francese di matematica PER I LICEI , credo degli anni settanta, che riporto testualmente [Le Scienze- I grandi della scienza- Bourbaki -marzo 2003 ] e la cui complessità mi sembra gratuita.
Definizione e proprietà della retta graduata .
"Teorema e definizione
Data una retta graduata ( $DELTA$, g).
1) per ogni coppia di reali (a',b') tali che a' div da 0, l'applicazione g' di $DELTA$ su $RR$ definita per ogni elemento M di D da : g'(M) = a'*g(M) +b' è biiettiva.
2) La famiglia di tutte le biiezioni così definite possiede la proprietà :
Per due biiezioni qualunque g' e g'' di questa famiglia, esiste una coppia (a,b) di numeri reali , tale che a div da 0 e per ogni elemento M di $DELTA$ :
g'(M) = a' *g'(M) +b .
Si chiama allora graduazione di $DELTA $ ogni biiezione di questa famiglia , e il numero g' (M) è chiamato ascissa di M nella graduazione g'. "
Ritengo che una definizione come questa non abbia diritto di cittadinanza sicuramente in un Liceo e anche in una università mi chiedo se sia accettabile.
Camillo
La definizione che hai dato echeggia, a mio avviso, una definizione facente parte di un testo francese di matematica PER I LICEI , credo degli anni settanta, che riporto testualmente [Le Scienze- I grandi della scienza- Bourbaki -marzo 2003 ] e la cui complessità mi sembra gratuita.
Definizione e proprietà della retta graduata .
"Teorema e definizione
Data una retta graduata ( $DELTA$, g).
1) per ogni coppia di reali (a',b') tali che a' div da 0, l'applicazione g' di $DELTA$ su $RR$ definita per ogni elemento M di D da : g'(M) = a'*g(M) +b' è biiettiva.
2) La famiglia di tutte le biiezioni così definite possiede la proprietà :
Per due biiezioni qualunque g' e g'' di questa famiglia, esiste una coppia (a,b) di numeri reali , tale che a div da 0 e per ogni elemento M di $DELTA$ :
g'(M) = a' *g'(M) +b .
Si chiama allora graduazione di $DELTA $ ogni biiezione di questa famiglia , e il numero g' (M) è chiamato ascissa di M nella graduazione g'. "
Ritengo che una definizione come questa non abbia diritto di cittadinanza sicuramente in un Liceo e anche in una università mi chiedo se sia accettabile.
Camillo
Sei sicuro di non aver sbagliato il simbolismo (tipo quei simboli di dollaro o le doppie RR...
Ad ogni modo, sicuramente (almeno per come funziona il sistemascolastico italiano) quella definizione in un liceo è sicuramente fuori luogo.
Ribadisco per l'ennesima volta che la mia definizione, come giustamente dici, non voleva spiegare niente a chi già non sapesse quelle cose; era solo una puntualizazione, che avrei anche potuto tenere per me, ma dato che siamo su un forum...
Detto questo ecco una mia opinione su ciò che hai detto.
Qullo che sto per dire è basata sulla mia esperienza, l'esperienza di un semplice studente di matematica (neanche troppo brillante) che ha appena cominciato a frequentare il 3 anno.
Alle volte anchio mi sono chiesto perchè rendere le cose così complicate quando intuitivamente sembrano molto più semplici. La mia esperienza mi ha portato a concludere quanto segue:
in matematica non esistono cose facili o cose difficili, ma semplicemente cose che si sono capite bene e cose che si sono capite meno bene, una volta capite tutte le core sono "semplici". Prova a pensare agli spazi vettoriali, uno studente del primo anno si perde in mezzo a tutti quei vettori, quelle basi, quegli infiniti e complicatissimi indici, eppure una volta "abituatisi a pensare in quei termini, viene del tutto naturale farlo, o pensa anche all'analisi e a tutte quelle definizioni sulla continuità, sul limite, sull'infinito, e tutti quegli intorni e quegli epsilon, eee, eppure dopo solo pochi mesi di studio chi riuscirebbe a farne a meno?
dare definizioni "difficili" serve per due motivi: uno e perchè se non lo si fa si rischia di fare tanti errori (come in effetti troppe volte e successo) che potrebbero essere eliminati in partenza; e poi anche se all'inizio sembra che tutto il lavoro che si sta facendo non fa altro che complicare e rendere le cose più difficili di quelle che sono, ecco che all'improvviso tutto diventa molto più semplice e molto più chiaro di prima. In realtà la matematica non fa altro che semplificare... bisogna solo avere pazienza.
Platone
Ad ogni modo, sicuramente (almeno per come funziona il sistemascolastico italiano) quella definizione in un liceo è sicuramente fuori luogo.
Ribadisco per l'ennesima volta che la mia definizione, come giustamente dici, non voleva spiegare niente a chi già non sapesse quelle cose; era solo una puntualizazione, che avrei anche potuto tenere per me, ma dato che siamo su un forum...
Detto questo ecco una mia opinione su ciò che hai detto.
Qullo che sto per dire è basata sulla mia esperienza, l'esperienza di un semplice studente di matematica (neanche troppo brillante) che ha appena cominciato a frequentare il 3 anno.
Alle volte anchio mi sono chiesto perchè rendere le cose così complicate quando intuitivamente sembrano molto più semplici. La mia esperienza mi ha portato a concludere quanto segue:
in matematica non esistono cose facili o cose difficili, ma semplicemente cose che si sono capite bene e cose che si sono capite meno bene, una volta capite tutte le core sono "semplici". Prova a pensare agli spazi vettoriali, uno studente del primo anno si perde in mezzo a tutti quei vettori, quelle basi, quegli infiniti e complicatissimi indici, eppure una volta "abituatisi a pensare in quei termini, viene del tutto naturale farlo, o pensa anche all'analisi e a tutte quelle definizioni sulla continuità, sul limite, sull'infinito, e tutti quegli intorni e quegli epsilon, eee, eppure dopo solo pochi mesi di studio chi riuscirebbe a farne a meno?
dare definizioni "difficili" serve per due motivi: uno e perchè se non lo si fa si rischia di fare tanti errori (come in effetti troppe volte e successo) che potrebbero essere eliminati in partenza; e poi anche se all'inizio sembra che tutto il lavoro che si sta facendo non fa altro che complicare e rendere le cose più difficili di quelle che sono, ecco che all'improvviso tutto diventa molto più semplice e molto più chiaro di prima. In realtà la matematica non fa altro che semplificare... bisogna solo avere pazienza.
Platone
Se vedi simboli di dollaro e doppie R, vuol dire che non hai installato MathPlayer : posso comunque aver commesso errori tanto astruso era il testo da ricopiare.
Ho letto il tuo ultimo post e in gran parte mi trovo d'accordo :
-l'intuizione pur utile deve poi essere sottoposta al controllo della logica , altrimenti può portare a gravi errori.
-molto calzante il tuo esempio sugli spazi vettoriali, all'inizio piuttosto ostici e molto astratti, ma quando poi si raggiunge " faticosamente" una certa famigliarità, allora li si vede come uno strumento potente e proficuo in vari campi, anche molto diversi della Matematica.
- come fare a meno della coppia epsilon , delta ?
Però io voglio ancora invitarti a una riflessione : sono proprio sempre necessarie queste definizioni " difficili" ?
Non sono a volte un po' gratuite, non necessarie ai fini del rigore ?
Io non avrei dubbi, se posso scegliere tra due definizioni, una semplice e una difficile, a parità di rigore.
Invece oggi ho spesso l'impressione che molti matematici scelgano per " default" la definizione difficile, a priori e senza una valutazione critica dell'opportunità o no : la difficoltà in sé non è un valore.
Un' ultima cosa ti voglio dire .
Non ho idea di quale strada sceglierai nella professione , ricerca, insegnamento o altro.
Però ti posso dire che se dovrai comunicare - e questo non vuol dire necessariamente insegnare, ma anche lavorare in team,cosa ormai molto comune, e magari con persone di preparazione differente dalla tua - dovrai valutare se sarà sempre necessario esprimersi in modo " ermetico" che può cadere nel vuoto.
Camillo
Ho letto il tuo ultimo post e in gran parte mi trovo d'accordo :
-l'intuizione pur utile deve poi essere sottoposta al controllo della logica , altrimenti può portare a gravi errori.
-molto calzante il tuo esempio sugli spazi vettoriali, all'inizio piuttosto ostici e molto astratti, ma quando poi si raggiunge " faticosamente" una certa famigliarità, allora li si vede come uno strumento potente e proficuo in vari campi, anche molto diversi della Matematica.
- come fare a meno della coppia epsilon , delta ?
Però io voglio ancora invitarti a una riflessione : sono proprio sempre necessarie queste definizioni " difficili" ?
Non sono a volte un po' gratuite, non necessarie ai fini del rigore ?
Io non avrei dubbi, se posso scegliere tra due definizioni, una semplice e una difficile, a parità di rigore.
Invece oggi ho spesso l'impressione che molti matematici scelgano per " default" la definizione difficile, a priori e senza una valutazione critica dell'opportunità o no : la difficoltà in sé non è un valore.
Un' ultima cosa ti voglio dire .
Non ho idea di quale strada sceglierai nella professione , ricerca, insegnamento o altro.
Però ti posso dire che se dovrai comunicare - e questo non vuol dire necessariamente insegnare, ma anche lavorare in team,cosa ormai molto comune, e magari con persone di preparazione differente dalla tua - dovrai valutare se sarà sempre necessario esprimersi in modo " ermetico" che può cadere nel vuoto.
Camillo
Sono daccordo con te sull'ultima cosa che hai detto, e ne ero gia' consapevole: comunicare la matematica (a livello di applicazioni lavorative o di semplice cultura) e' importante e quanto mai nesessario (credo che la cultura scientifica in italia sia a livelli decisamente bassi), e per farlo un linguaggio ermetico non e' certo d'aiuto.
Ma una cosa e' farsi capire dalla gente una cosa e' fare matematica.
Anche se sono uno studente di matematica non saprei neanche da dove cominciare per fare ricerca, quindi ora parlo come (probabilmente) te per supposizioni.
Non sono tanto convinto che i matematici (mentre fanno ricerca) si divertino a complicarsi la vita da soli: la stragrande magior parte di loro non sono geni, ma persone comuni che si occupano di una data materia, e un linguaggio piu' semplice e lineare possibile (a parita' di rigore ed efficenza) fa comodo anche a loro, perche' la loro ricerca in questo modo ha piu' possibilita' di diventare produttiva (e anche se quasi tutti dicono di fare ricerca per il bene della scienza alla fine sono convinto che in parte anche al "loro bene" pensano).
Credo che se le cose vengano complicate e' perche' ad un certo punto se ne sente l'esigenza.
Ad ogni modo viva il linguaggio semplice e tuttavia ricco di un significato profondo: credo che la bravura di un buon divulgatore sia soprattutto li (attenzione pero' a non fare la fine del nostro (nel senso di italiano) fisico politicante Antonino Zichichi, che col pretesto di rendere le cose il piu' semplice possibile per tutta la gente finisce col far credere cose non vere e nell'inculcare nozioni e' ideali che non sono intrinsechi nella scienza ma sono essenzialmente suoi).
Platone
Ma una cosa e' farsi capire dalla gente una cosa e' fare matematica.
Anche se sono uno studente di matematica non saprei neanche da dove cominciare per fare ricerca, quindi ora parlo come (probabilmente) te per supposizioni.
Non sono tanto convinto che i matematici (mentre fanno ricerca) si divertino a complicarsi la vita da soli: la stragrande magior parte di loro non sono geni, ma persone comuni che si occupano di una data materia, e un linguaggio piu' semplice e lineare possibile (a parita' di rigore ed efficenza) fa comodo anche a loro, perche' la loro ricerca in questo modo ha piu' possibilita' di diventare produttiva (e anche se quasi tutti dicono di fare ricerca per il bene della scienza alla fine sono convinto che in parte anche al "loro bene" pensano).
Credo che se le cose vengano complicate e' perche' ad un certo punto se ne sente l'esigenza.
Ad ogni modo viva il linguaggio semplice e tuttavia ricco di un significato profondo: credo che la bravura di un buon divulgatore sia soprattutto li (attenzione pero' a non fare la fine del nostro (nel senso di italiano) fisico politicante Antonino Zichichi, che col pretesto di rendere le cose il piu' semplice possibile per tutta la gente finisce col far credere cose non vere e nell'inculcare nozioni e' ideali che non sono intrinsechi nella scienza ma sono essenzialmente suoi).
Platone
Ho letto le tue osservazioni e ti dico ora le mie: tu dici che i matematici cercano un linguaggio che sia il piu' semplice e lineare possibile a parita' di rigore ma a me sembra che non sempre questo avvenga, e che certe volte ci sia un compiacimento a "scrivere difficile", quasi per distinguersi dagli altri, per non confondersi con essi, e questo dà come l'impressione di una setta. La stessa sensazione che dà la cattiva scrittura dei medici.
Quanto a Zichichi non ho mai letto un suo libro, per quel poco che ho sentito penso che tu abbia ragione.
Concludendo: Viva la semplicità, ma attenzione a non cadere nella approssimazione e nella faciloneria!
Ciao
Camillo
Quanto a Zichichi non ho mai letto un suo libro, per quel poco che ho sentito penso che tu abbia ragione.
Concludendo: Viva la semplicità, ma attenzione a non cadere nella approssimazione e nella faciloneria!
Ciao
Camillo
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