Data una curva, dimostrare... (esercizio semplice ma ho dubbi)
Ciao a tutti, spero di aver trovato un posto sul webbe 
che possa aiutarmi in alcuni dubbi sugli esercizi che sto facendo per un corso di geometria.
Purtroppo non c'è esercitatore né esercizi svolti quindo ho bisogno di confrontare le soluzioni, capire se sono giuste in vista dell'esame, ed essere corretto
. So che chiedo molto ma provo a postare
Ad ogni modo....
ESERCIZIO
SOL:
1)
2)
PS: è un problema se in questi giorni posto un po' di esercizi e tentativi di soluzioni e nel caso vi chiedessi un po' di aiuti? Perché ne ho veramente una montagna da fare e NESSUNO con soluzione, e questo navigare nel buio mi lascia dubbioso sul sapere se ho risolto correttamente.
Ovviamente non tutti, ma posterei i più dubbi
Saluti!
che possa aiutarmi in alcuni dubbi sugli esercizi che sto facendo per un corso di geometria.Purtroppo non c'è esercitatore né esercizi svolti quindo ho bisogno di confrontare le soluzioni, capire se sono giuste in vista dell'esame, ed essere corretto
. So che chiedo molto ma provo a postare Ad ogni modo....
ESERCIZIO
Data una curva, dimostrare che
1. k ≡ 0 sse la curva e’ contenuta in una retta;
2. τ ≡ 0 sse la curva e’ contenuta in un piano.
(risolvere per lunghezze d'arco)
SOL:
1)
2)
?PS: è un problema se in questi giorni posto un po' di esercizi e tentativi di soluzioni e nel caso vi chiedessi un po' di aiuti? Perché ne ho veramente una montagna da fare e NESSUNO con soluzione, e questo navigare nel buio mi lascia dubbioso sul sapere se ho risolto correttamente.
Ovviamente non tutti, ma posterei i più dubbi
Saluti!
Risposte
Ciao, puoi scrivere la definizione di $k$ e di $tau$?
E puoi anche correggere il titolo? Al momento c'è scritto "curca". Basta che clicchi su "modifica" nel tuo intervento.
E puoi anche correggere il titolo? Al momento c'è scritto "curca". Basta che clicchi su "modifica" nel tuo intervento.
Ups, grazie Martino, correggo subito.
per quanto riguarda $k(s):=||dotdotalpha(s)||$; $τ(s):=b(s)*n$ con b il binormale
Nel frattempo mi sono accorto di un altro dubio/errore, quando passo da parametrizzazione in t a s(t) io scrivo $s:[a,b]->[0,L]$ con L lunghezza e l'integrale è $s(t)=int_a^t||dotalpha(r)||dr$ cioè uso gli estremi di integrazione dati dall'intervallo, mi sono però accorto che io per svista mi ero messo $s(t)=∫_0^t sqrt(c^2+c'^2)dt$ che non va affato bene perché io ho $s:(-oo,+oo)->RR$ perché ho una retta non un segmento, quindi insomma avrei $s(t)=∫_-oo^t sqrt(c^2+c'^2)dt$ ma così ho dei calcoli che vengono un casino avendo un "infinito" di mezzo. Secondo te come potrei correggere questa cosa nei casi di rette se voglio passare da una parametrizzazine qualunque a una per arcolunghezza? Mi dai una idea?
per quanto riguarda $k(s):=||dotdotalpha(s)||$; $τ(s):=b(s)*n$ con b il binormale
Nel frattempo mi sono accorto di un altro dubio/errore, quando passo da parametrizzazione in t a s(t) io scrivo $s:[a,b]->[0,L]$ con L lunghezza e l'integrale è $s(t)=int_a^t||dotalpha(r)||dr$ cioè uso gli estremi di integrazione dati dall'intervallo, mi sono però accorto che io per svista mi ero messo $s(t)=∫_0^t sqrt(c^2+c'^2)dt$ che non va affato bene perché io ho $s:(-oo,+oo)->RR$ perché ho una retta non un segmento, quindi insomma avrei $s(t)=∫_-oo^t sqrt(c^2+c'^2)dt$ ma così ho dei calcoli che vengono un casino avendo un "infinito" di mezzo. Secondo te come potrei correggere questa cosa nei casi di rette se voglio passare da una parametrizzazine qualunque a una per arcolunghezza? Mi dai una idea
?
Non ti so dire, dovrei studiare, è da una vita che non vedo queste cose. Cercando in internet ho trovato questo. Aspetta i geometri.
Certo, certo. Grazie mille. Per intanto mi leggo il link, "aspettando i godot-metri" .
.
Il versore binormale dipende dall'ascissa curvilinea! 
"j18eos":
Il versore binormale dipende dall'ascissa curvilinea!
Ok mi sa che non ho capito l'imbeccata
puoi approfondire?
Una cosa che di sicuro non è giusta in quello che fai è che scrivi la retta con 2 coordinate quando dovrebbe averne 3 (sei nello spazio tridimensionale).
Cercando in giro ho trovato che se si scrive la curva $alpha$ in funzione di un parametro $t$ allora la sua curvatura è data da
$k = |alpha' xx alpha''|/(|alpha'|^3)$
E' giusta questa formula? Se è così allora è ovvio che se $alpha$ è una retta abbiamo $k=0$, perché $alpha = (a+bt,c+dt,e+ft)$ dove $a,b,c,d,e,f$ sono costanti e quindi $alpha''=0$.
Inoltre scrivendo $alpha=(x,y,z)$ dove $x,y,z$ sono funzioni di $t$ (qui probabilmente si deve usare la lunghezza d'arco), e usando la formula sopra per $k$, se $k=0$ allora $y' z'' = y'' z'$, $x'' z' = x' z''$, $x' y'' = x'' y'$ e da qui si può facilmente dedurre che $z'=ay'$, $x'=bz'$ con $a,b$ costanti, da cui $z=ay+c$, $x=bz+d$ con $c,d$ costanti, e abbiamo ottenuto due equazioni indipendenti che quindi insieme individuano una retta.
Poi se la torsione è zero allora per formule che ho trovato in giro $(r' xx r'') * r''' = 0$ e forse si riesce a fare un ragionamento simile a quello sopra.
Cercando in giro ho trovato che se si scrive la curva $alpha$ in funzione di un parametro $t$ allora la sua curvatura è data da
$k = |alpha' xx alpha''|/(|alpha'|^3)$
E' giusta questa formula? Se è così allora è ovvio che se $alpha$ è una retta abbiamo $k=0$, perché $alpha = (a+bt,c+dt,e+ft)$ dove $a,b,c,d,e,f$ sono costanti e quindi $alpha''=0$.
Inoltre scrivendo $alpha=(x,y,z)$ dove $x,y,z$ sono funzioni di $t$ (qui probabilmente si deve usare la lunghezza d'arco), e usando la formula sopra per $k$, se $k=0$ allora $y' z'' = y'' z'$, $x'' z' = x' z''$, $x' y'' = x'' y'$ e da qui si può facilmente dedurre che $z'=ay'$, $x'=bz'$ con $a,b$ costanti, da cui $z=ay+c$, $x=bz+d$ con $c,d$ costanti, e abbiamo ottenuto due equazioni indipendenti che quindi insieme individuano una retta.
Poi se la torsione è zero allora per formule che ho trovato in giro $(r' xx r'') * r''' = 0$ e forse si riesce a fare un ragionamento simile a quello sopra.
Mi ero accorto solo dopo aver scritto che avevo ragionado in 2D, però in realtà sul punto 1) (l'unico dove ragionavo in 2D) se noti non cambia nulla, perché alla fine posso ragionare du triple anziché duple e il gioco è fatto, cioè non cambia niente perché i tre termini lavorano separatamente esattamente come i due trattati, alla fine . no?
Per quanto dici è corretto, sono formule giuste, ma... chiedeva espressamente per lunghezza d'arco, quelle sono per parametrizzazioni arbitrarie per quello mi ero fatto tutto il pippozzo di passare a s come parametro
. no?Per quanto dici è corretto, sono formule giuste, ma... chiedeva espressamente per lunghezza d'arco, quelle sono per parametrizzazioni arbitrarie per quello mi ero fatto tutto il pippozzo di passare a s come parametro
La mia imbeccata è proprio lì: devi ragionare in \(\mathbb{R}^3\), e poiché la torsione la definisci come il prodotto scalare tra il versore normale e il versore binormale: non conosci una formula esplicita in funzione dell'ascissa curvilinea?
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