Data la matrice associata trovare le basi

[francesco.gazzola.18]

ciao non riesco a risolvere questo punto dell' esercizio:
data la funzione $f(x,y,z)=(3x+y+5z, -2x+4y-z)$ , trovare per quali basi di $R^3$ e di $R^2$ la matrice di f sia $((1,0,0),(0,1,0))$. E' possibile inoltre trovare delle basi in modo che la matrice sia $((1,1,0),(0,0,0))$.

[tommy1996q]

Anzitutto calcoliamoci il rango dell' applicazione (la dimensione dell'immagine). Vediamo subito che l' applicazione è surgettiva e dunque $rk(f)=2$. Perciò la seconda richiesta è impossibile perchè rappresenta un endomorfismo di rango 1. Vediamo come si comporta $f$ su (per esempio) i vettori della base canonica di $R^3$. Vedo che per $e_1$ e per $e_2$ i vettori corrispondenti in $R^2$ sono $(3,-2)$ e $(1,4)$. Ottimo, allora scelgo proprio questi come vettori di base di $R^2$. Manca l'ultimo vettore della base di $R^3$, che evidentemente sta in $Ker(f)$. Facendo due conti trovo che tale vettore è $(3,1,-2)$. Delle possibili basi sono dunque $\mathcal{B}=\{e_1,e_2,(3,1,-2)\}$ base di $R^3$ e $\mathcal{S}=\{(3,-2),(1,4)\}$ base di $R^2$.