Dalla topologia alla metrica
ecco le domande del risveglio 
(si vede che arrivano gli esami... 
)
vi pongo una domanda che o da un pò di tempo... se io ho uno spazio su cui è definita una topologia, allora in qualche modo (cosa che non pernso sia intuitiva o facile) posso vedere che è metrizzabile. ù
Ma dalla topologia alla metrica qual'è la strada che si percorre? perchè per esempio su $RR$ con la topologia che ha per base ${(a,b)}$ la metrica indotta è quella euclidea, anche qua però la faccenda non mi pare così intitiva...
La domanda quindi è: data una topologia che si sa essere metrizzabile, come si struttura un maetrica partendo da essa?... e il viceversa ha una logica farlo?...
grazie mille!
(si vede che arrivano gli esami... )vi pongo una domanda che o da un pò di tempo... se io ho uno spazio su cui è definita una topologia, allora in qualche modo (cosa che non pernso sia intuitiva o facile) posso vedere che è metrizzabile. ù
Ma dalla topologia alla metrica qual'è la strada che si percorre? perchè per esempio su $RR$ con la topologia che ha per base ${(a,b)}$ la metrica indotta è quella euclidea, anche qua però la faccenda non mi pare così intitiva...
La domanda quindi è: data una topologia che si sa essere metrizzabile, come si struttura un maetrica partendo da essa?... e il viceversa ha una logica farlo?...
grazie mille!
Risposte
ah guarda... so che sull'argomento c'è il teorema di Urysohn (ogni spazio regolare con una base numerabile è metrizzabile), però non ti so argomentare la dimostrazione, e comunque mi pare che funzioni mostrando che lo spazio può essere immerso in qualche spazio "noto" (mi pare $RR^infty$). Quindi niente metrica esplicita. Comunque se consulti il libro "Topology" di J.Munkres c'è un intero capitolo sull'argomento 
e naturalmente io non l'ho letto! per dirla in due parole: non sono di nessun aiuto! 
e naturalmente io non l'ho letto! per dirla in due parole: non sono di nessun aiuto!
Dai miei appunti:
Una metrica $d$ induce una topologia $\tau$ in questo mdo:
$U \ subset X$ si dice APERTO $<=> \forall p in U$, $\exists \epsilon >0$ con $B_d(p,\epsilon) := { q \in X | d(p,q) < epsilon} subset U$
Per cui OGNI metrica incude una topologia su $X$ (è semplice dimostrare che grazie a questa definizione è possibile provare i tre assiomi di spazio topologico).
Viceversa non è sempre vero. Per esempio $X = {1,2}$, con la topologia indiscreta $tau = {\emptyset, X}$ non è metrizzabile.
Per dimostrare che $RR^{NN}$ era metrizzabile e la metrica induceva la topologia prodotto, abbiamo creato una metrica apposta per $RR^{NN}$, e abbiamo dimostrato le due inclusioni per la topologia indotta da tale metrica e la topologia prodotto.
In altre parole credo che nella maggior parte dei casi devi intuirla te che tipo di metrica induce uno spazio topologico.
Una metrica $d$ induce una topologia $\tau$ in questo mdo:
$U \ subset X$ si dice APERTO $<=> \forall p in U$, $\exists \epsilon >0$ con $B_d(p,\epsilon) := { q \in X | d(p,q) < epsilon} subset U$
Per cui OGNI metrica incude una topologia su $X$ (è semplice dimostrare che grazie a questa definizione è possibile provare i tre assiomi di spazio topologico).
Viceversa non è sempre vero. Per esempio $X = {1,2}$, con la topologia indiscreta $tau = {\emptyset, X}$ non è metrizzabile.
Per dimostrare che $RR^{NN}$ era metrizzabile e la metrica induceva la topologia prodotto, abbiamo creato una metrica apposta per $RR^{NN}$, e abbiamo dimostrato le due inclusioni per la topologia indotta da tale metrica e la topologia prodotto.
In altre parole credo che nella maggior parte dei casi devi intuirla te che tipo di metrica induce uno spazio topologico.
mmm infatti...
però mi è sorta questa domanda mentre riguardavo gli appunti di inizio corso, tipo questa metrica su $ZZ$:
sia $p\inNN$ un numero primo, allora $AAq\inZZ$, q si può nel seguente modo $q=p^alpha*k$
definiamo allora la funzione $|*|_p$ nel seguente modo: $|q|_p=|p^alpha*k|_p=p^(-alpha)$ ogni volta che k è primo con p.
ovviamente $|q|_p=0<=>q=0$.
definiamo quindi la metrica su $ZZ$ fatta in questo modo: $d(x,y)=|x-y|_p$ con p fissato.
ecco questa metrica molto esotica da che topologia viene indotta (una metrica la si può costruire su due piedi, ma se lo spazio è metrico allora ci deve essere una topologia alla base...)?
per risalire ad essa però come dicevi te pat87, bisogna andare a c**o o no?
ps qualcuno conosce la dimostrazione che questa
https://www.matematicamente.it/forum/inf ... 28616.html
è una topologia metrizzabile?
grazie a tutti!
ciao
però mi è sorta questa domanda mentre riguardavo gli appunti di inizio corso, tipo questa metrica su $ZZ$:
sia $p\inNN$ un numero primo, allora $AAq\inZZ$, q si può nel seguente modo $q=p^alpha*k$
definiamo allora la funzione $|*|_p$ nel seguente modo: $|q|_p=|p^alpha*k|_p=p^(-alpha)$ ogni volta che k è primo con p.
ovviamente $|q|_p=0<=>q=0$.
definiamo quindi la metrica su $ZZ$ fatta in questo modo: $d(x,y)=|x-y|_p$ con p fissato.
ecco questa metrica molto esotica da che topologia viene indotta (una metrica la si può costruire su due piedi, ma se lo spazio è metrico allora ci deve essere una topologia alla base...)?
per risalire ad essa però come dicevi te pat87, bisogna andare a c**o o no?
ps qualcuno conosce la dimostrazione che questa
https://www.matematicamente.it/forum/inf ... 28616.html
è una topologia metrizzabile?
grazie a tutti!
ciao
Penso proprio di sì...l'unica metrica che conosco su $ZZ$ è quella p-adica, che non mi pare sia quella. La metrica p-adica induce proprio la topologia avente per base $U(z,n) = {z+ \alphap^n}$, quella con cui si dimostra l'infinità dei numeri primi. La dimostrazione è ancora far vedere che le due inclusioni valgono, la topologia indotta dalla metrica p-adica è sottoinsieme della topologia generata da $U$, e viceversa.
PS: avete fatto anche topologia algebrica?
PS: avete fatto anche topologia algebrica?
no topologia algebrica non l'ho mai fatta esattamente solo tante piccole cose sparse qua e la durante il corso 
qualla topologia p-adica non è troppo diversa da quella postata nel mio post in sezione giochi matematici... anche con quella si mostra l'infinità dei numeri primi grazie degli spunti, a presto!
notte
qualla topologia p-adica non è troppo diversa da quella postata nel mio post in sezione giochi matematici... anche con quella si mostra l'infinità dei numeri primi
grazie degli spunti, a presto! notte
Beh, no. Su $ZZ$ conosci anche la metrica indotta dalla metrica di $RR$. Essa è topologizzabile, e la sua topologia è la discreta.
Ma queste sono ovvietà.
Ma queste sono ovvietà.
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