Curve piane

[Jaeger90]

Salve, ho qualche dubbio sulla verifica di curve piane con relativo calcolo del piano..

Avendo un sistema di riferimento cartesiano RC(O,i,j,k), abbiamo una curva:

$ C:{ ( x=3(t^2+t ),( y=(t+1)^3 ),( z=t^3+1 ):} $
Ovviamente consideriamo la generica equazione del piano: $ ax+by+c+d=0 $
Con $ a,b,c,d $ in \( \Re \)
Supponendo che C \( \subset \) \( \alpha \)
allora dovremmo sostituire all'equazione del piano le $ x, y, z $ dell'equazione della curva.
Arrivo a un sistema


$ { ( 3a+b=0),( b+c=0),( a+b=0),(b+c+d=0):} $ = $ { ( a=0),(b=0),(c=0),(d=0):} $
Quindi non avendo alcun coefficiente credo che non vi sia alcun piano contenente la curva.. eppure secondo la soluzione dovrebbe essercene una.. cosa sto sbagliando? Grazie.

[anonymous_0b37e9]

Devi aver sbagliato i calcoli. La seguente equazione:

$3a(t^2+t)+b(t+1)^3+c(t^3+1)+d=0$

deve essere soddisfatta per $[AA t in RR]$. Quindi:

$(b+c)t^3+(3a+3b)t^2+(3a+3b)t+b+c+d=0 rarr \{(b+c=0),(3a+3b=0),(3a+3b=0),(b+c+d=0):} rarr \{(b=-a),(c=a),(d=0):} rarr$

$rarr [x-y+z=0]$

[Jaeger90]

"anonymous_0b37e9":Devi aver sbagliato i calcoli. La seguente equazione:

$3a(t^2+t)+b(t+1)^3+c(t^3+1)+d=0$

deve essere soddisfatta per $[AA t in RR]$. Quindi:

$(b+c)t^3+(3a+3b)t^2+(3a+3b)t+b+c+d=0 rarr \{(b+c=0),(3a+3b=0),(3a+3b=0),(b+c+d=0):} rarr \{(b=-a),(c=a),(d=0):} rarr$

$rarr [x-y+z=0]$

Perfetto, avevo messo un 3 nella parentesi errata e non riuscivo a vederlo, grazie mille.
Mi sapresti dire come fare ad accorgersi del caso in cui la curva non è contenuta in un piano? Esce un'equazione impossibile?

[anonymous_0b37e9]

"Jaeger90":
... del caso in cui la curva non è contenuta in un piano? Esce un'equazione impossibile?

Ti ricordo che un sistema lineare omogeneo ammette sempre almeno la soluzione banale. Quindi, meglio dire che quel sistema, invece di ammettere $[oo^1]$ soluzioni come nel caso in esame, ne ammette $[oo^0]$, la soluzione banale $[a=b=c=d=0]$.