Curve differenziali: elica + altri esercizi

[celeste4]

Non riesco a capire come si fa quest'esercizio:

Data una curva regolare paina $alpha(t)=(x(t),y(t))$ chiamiamo elica di passo b>o su $alpha$ la curva regolare:
$beta:I->(RR)^3
$t->(x(t), y(t), z(t))

a) si determini una rappresentazione parametrica per l'elica di passo b sopra la parabola $y=x^2$


Allora, la parametrizzazione richiesta è semplicemente
$x=t
$y=t^2
$z=bt

??
oppure la faccio troppo facile e sto sbagliando?

Grazie per il vostro preziossissimo aiuto

[Fioravante Patrone1]

"celeste":Non riesco a capire come si fa quest'esercizio:

Data una curva regolare paina $alpha(t)=(x(t),y(t))$ chiamiamo elica di passo b>o su $alpha$ la curva regolare:
$beta:I->(RR)^3
$t->(x(t), y(t), z(t))

evidentemente ti sei dimenticata qualcosa

Non c'e' nessuna condizione su z(t)

[celeste4]

Ma se dev'essere un elica di passo b>0....che altre condizioni dovrebbero esserci?

[Fioravante Patrone1]

Ormai mi sono fatto la fama di cattivo e quindi tanto vale che continui.

Ma hai riflettuto prima di scrivere?
Ti rendi conto che se non imponi nessuna restrizione alla z(t) la curva che hai descritto e' una curva qualunque?

[celeste4]

stay cool...
comunque: la curva deve stare su una parabola...e questo me lo garantisco con le equazioni di x e y...
non capisco...

[Fioravante Patrone1]

"celeste":stay cool...

Ho tenuto la testa in freezer fino ad ora. Spero mi basti per stare "cool".


Tu dici:

"celeste":
Data una curva regolare paina $alpha(t)=(x(t),y(t))$ chiamiamo elica di passo b>o su $alpha$ la curva regolare:
$beta:I->(RR)^3
$t->(x(t), y(t), z(t))

Ma questa che tu dai non e' la definizione di elica. Tu non imponi nessuna condizione sulla funzione z(t).
Se prendo: $t->(x(t), y(t), z(t))$ con $z(t) = e^t$ ho un'elica?

Lasciando z(t) arbitraria, tu stai descrivendo una generica curva la cui proiezione sul piano xy e' contenuta nel supporto della curva piana data.

[celeste4]

ah, ora forse ho capito cosa ti turba....quello era il testo dell'esercizio! (è proprio così, ce l'ho sotto gli occhi, è di un vecchio compito d'esame fatto dalla mia prof...immagino che fosse perché già dovremmo saperlo cos'è un elica, oppure c'è un errore)

le equazioni dell'elica sulla parabola sono quelle che avevo messo alla fine...
ossia:
$alpha(t) : (t,t^2,bt)$

[celeste4]

Ovvio, quelle che io credo essere le equazioni parametriche dell'elica, poi non so se lo sono proprio...

Nel frattempo le mie domande si moltiplicano però:
quando devo verificare che una curva è parametrizzata con parametro lunghezza d'arco, basta che calcolo $||alpha'(t)||$ e virifico sia uguale a 1?

Poi:
data una curva (nel caso specifico: $alpha(t)=(((1+s)^(3/2))/2, ((1-s)^(3/2))/3, s/sqrt(2)) $ con $-1
E ancora:
sia $alpha(t)$ la curva:
$x=a(1+cos(t))
$y=a sin(t)
$z=2a sin (t/2)
con $a>0$ e$0 Esistono punti della curvanin cui il vettore tangente è parallelo all'asse z?

Ossia, $x'$ e $y'$ devono essere zero, ok?
Io ho calcolato $alpha'= (-a sin(t), a cos(t), a cos(t/2))$
la prima entrata si annulla per $pi$, e la seconda per $pi/2 e 3/2pi$
...ma questo non mi porta da nessuna parte...
come devo fare?


Vi prego datemi una mano perché più continuo a fare esercizi più i miei dubbi lievitano...

[gugo82]

"celeste":quando devo verificare che una curva è parametrizzata con parametro lunghezza d'arco, basta che calcolo $||alpha'(t)||$ e virifico sia uguale a 1?

Sì, senza ombra di dubbio.

"celeste":data una curva (nel caso specifico: $alpha(t)=(((1+s)^(3/2))/2, ((1-s)^(3/2))/3, s/sqrt(2)) $ con $-1
Ti basta verificare che: 1) la funzione $z(s)$ sia lineare (ossia del tipo $b*s$ con $b in RR$); 2) che le due funzioni $x(s),y(s)$ formino una r.p. di una circonferenza.

"celeste":sia $alpha(t)$ la curva:
$x=a*(1+cos(t))
$y=a*sin(t)
$z=2a*sin (t/2)
con $a>0$ e$0 Esistono punti della curva in cui il vettore tangente è parallelo all'asse z?

Ossia, $x'$ e $y'$ devono essere zero, ok?
Io ho calcolato $alpha'= (-a*sin(t), a*cos(t), a*cos(t/2))$
la prima entrata si annulla per $pi$, e la seconda per $pi/2 e 3/2pi$
...ma questo non mi porta da nessuna parte...
come devo fare?

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni $\{(x'(t)=0),(y'(t)=0):} quad$; nel tuo caso il sistema non ha soluzione, quindi niente tangenti parallelle all'asse $z$.

[celeste4]

"Gugo82":
[quote="celeste"]data una curva (nel caso specifico: $alpha(t)=(((1+s)^(3/2))/2, ((1-s)^(3/2))/3, s/sqrt(2)) $ con $-1
Ti basta verificare che: 1) la funzione $z(s)$ sia lineare (ossia del tipo $b*s$ con $b in RR$); 2) che le due funzioni $x(s),y(s)$ formino una r.p. di una circonferenza.
[/quote]

questo però si vede ad occhio...come lo scrivo per bene nel'esercizio?
scusa se disturbo ancora...
Grazie mille per la risposta!!!

EDIT: ora vedo che ho scritto sbagliato, la $x(t) $ è fratto 3, non fratto 2!

[gugo82]

Beh, visto che i punti di una circonferenza sono caratterizzati dalla relazione $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ (ove $(x_0,y_0)$ sono le coordinate del centro ed $r>0$ è il raggio), proverei a vedere se è possibile determinare $x_0,y_0,r$ in modo che $(x(s)-x_0)^2+(y(s)-y_0)^2=r^2$ per ogni $s$.