Curve algebriche chiuse....
Carissimi ragazzi nel corso dello studio delle proprietà delle curve algebriche, mi son imbattuto nella seguente problematica.
Considerata una curva algebrica, di ordine n, in ambiente proiettivo se questa non ha direzioni, risulta naturalmente chiusa. La problematica è capire se tale proprietà la si può invertire; son pervenuto alla conclusione che non la si inverte. Si consideri la quartica : $ x_1^4-2x_1^3x_2+x_0^2x_2^2=0 $ la quale, considerando come retta impropria $ x_2=0 $ presenta direzioni, ma nella sua rappresentazione affine è chiusa! Ciò che destabilizza la mia supposizione è che la rappresentazione che se ne fa è comunque sui reali e pertanto l'immagine grafica non rende tutte le proprietà che la curva ricopre su di un campo algebricamente chiuso, quale quello complesso.
In attesa di vostre delucidazioni in merito, ringrazio sentitamente per la collaborazione.
Considerata una curva algebrica, di ordine n, in ambiente proiettivo se questa non ha direzioni, risulta naturalmente chiusa. La problematica è capire se tale proprietà la si può invertire; son pervenuto alla conclusione che non la si inverte. Si consideri la quartica : $ x_1^4-2x_1^3x_2+x_0^2x_2^2=0 $ la quale, considerando come retta impropria $ x_2=0 $ presenta direzioni, ma nella sua rappresentazione affine è chiusa! Ciò che destabilizza la mia supposizione è che la rappresentazione che se ne fa è comunque sui reali e pertanto l'immagine grafica non rende tutte le proprietà che la curva ricopre su di un campo algebricamente chiuso, quale quello complesso.
In attesa di vostre delucidazioni in merito, ringrazio sentitamente per la collaborazione.
Risposte
Moralmente guardare lo scheletro reale e affine di una curva algebrica fa perdere tutto: nel passaggio all'affine la compattezza va a quel paese, e restando ciechi a tutti i punti complessi anche la connessione (prendi per esempio una curva ellittica di parametro $\lambda=1/2$...)
"killing_buddha":
Moralmente guardare lo scheletro reale e affine di una curva algebrica fa perdere tutto
Su questo concordo.
In merito al problema da me esposto cosa ne pensi?
Sinceramente non capisco cosa intendi: questi sono i tre scheletri reali affini standard della tua curva: uno di loro e' compattoconnesso. Qual e' la tua domanda? http://postimage.org/image/lfemenjy9/
Ok, avevo scritto cose giuste nel posto sbagliato.
Il problema è molto più semplice, qui. Vediamo che, in [tex]\mathbb R^3[/tex] la retta di coordinate [tex]x_2 = x_1 = 0[/tex] soddisfa l'equazione della curva, quindi c'è il punto [tex][1:0:0][/tex], che è isolato nella topologia standard.
Il motivo di questo fatto, allora, è semplicemente che non stiamo vedendo dei punti a coordinate complesse, come già diceva killing_buddha.
Il mio discorso di prima, molto suggestivo, aveva una falla enorme: l'ideale [tex](x_1^4 - 2x_1^3 x_2 + x_0^2 x_2^2)[/tex] è un ideale primo (lo lascio dimostrare a voi), quindi la decomposizione primaria non c'entra in questo caso.
Il discorso rimane valido quando si considerano ideali a casaccio: potrebbero davvero contenere primi immersi e in quel caso il discorso che ho cancellato perché poco pertinente si applica. Ma non importa.
Il problema è molto più semplice, qui. Vediamo che, in [tex]\mathbb R^3[/tex] la retta di coordinate [tex]x_2 = x_1 = 0[/tex] soddisfa l'equazione della curva, quindi c'è il punto [tex][1:0:0][/tex], che è isolato nella topologia standard.
Il motivo di questo fatto, allora, è semplicemente che non stiamo vedendo dei punti a coordinate complesse, come già diceva killing_buddha.
Il mio discorso di prima, molto suggestivo, aveva una falla enorme: l'ideale [tex](x_1^4 - 2x_1^3 x_2 + x_0^2 x_2^2)[/tex] è un ideale primo (lo lascio dimostrare a voi), quindi la decomposizione primaria non c'entra in questo caso.
Il discorso rimane valido quando si considerano ideali a casaccio: potrebbero davvero contenere primi immersi e in quel caso il discorso che ho cancellato perché poco pertinente si applica. Ma non importa.
"maurer":
Il motivo di questo fatto, allora, è semplicemente che non stiamo vedendo dei punti a coordinate complesse, come già diceva killing_buddha.
Ok, quindi la deduzione che presentavo inizialmente era giusta!
"killing_buddha":
Qual e' la tua domanda?
Posso avere direzioni senza vederne nel piano affine reale, ossia nel momento in cui disegno la curva stessa? Beh resta confermato quanto si diceva in partenza, proprio perché non operiamo in un campo algebricamente chiuso, cioè non guardiamo la parte complessa della curva!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo