Curvatura Gaussiana di una superficie di rotazione
Buon giorno a tutti!
Sono nuovamente costretto ad ammettere la mia ignoranza e chiedere il vostro aiuto su una questione di geometria differenziale.
Seguendo il libro su cui sto studiando, cito:
Una superficie di rotazione è una superficie parametrizzata da
\[
\begin{pmatrix} \varphi (v) \cos u \\ \varphi (v) \sin u \\ \psi(v)\end{pmatrix}
\]
dove
\[
\begin{pmatrix} \varphi(v) \\ \psi(v) \end{pmatrix}
\]
è la curva generatrice giacente nel piano \(xz\) che viene ruotata intorno all'asse \(z\) e che soddisfa \(\psi(v) > 0\).
La curvatura Gaussiana è data da
\[
K = \frac{eg - f^2}{EG - F^2}
\]
dove \(e,f,g\) sono i coefficienti della seconda forma fondamentale ed \(E, F, G\) quelli della prima.
Il libro prosegue con
\[
E = \varphi^2 \qquad F = 0 \qquad G = (\varphi')^2 + (\psi')^2
\]
e poi dice "è conveniente assumere che la curva rotante sia parametrizzata dalla lunghezza d'arco, così che \((\varphi')^2 + (\psi')^2 = 1\)".
Poi svolge altri conti ed arriva a
\[
K = - \frac{\psi' ( \psi' \varphi'' - \psi'' \varphi')}{\varphi}
\]
poi differenzia la relazione \((\varphi')^2 + (\psi')^2 = 1\), la butta nella precedente e tira fuori
\[
K = -\frac{\varphi''}{\varphi}
\]
Ora arriviamo alla pratica: quest'ultima formula è molto semplice ma altrettanto sospetta. In particolare, non capisco perché la curvatura non dipenda da \(\psi\).
Inoltre se la provo sulla sfera, parametrizzata come
\[
\begin{pmatrix} \sin v \cos u \\ \sin v \sin u \\ \cos v \end{pmatrix}
\]
tutto torna infatti viene
\[
K = -\frac{\varphi''}{\varphi} = - \frac{-\sin v}{\sin v} = 1
\]
Il punto è che se provo con la pseudosfera
\[
\begin{pmatrix} \sin v \cos u \\ \sin v \sin u \\ \cos v + \tan\frac {v}{2} \end{pmatrix}
\]
mi viene lo stesso risultato, mentre dovrebbe essere \(K = -1\).
Questo mi fa pensare che dietro a queste formule ci siano delle ipotesi in più, e che il pezzo "è conveniente assumere che la curva rotante sia parametrizzata dalla lunghezza d'arco" non sia un'assunzione indolore. Dico bene?
In pratica, quando posso usare le formule che usano la parametrizzazione anziché i coefficienti delle forme fondamentali?
Ringrazio tutti per le risposte!
Sono nuovamente costretto ad ammettere la mia ignoranza e chiedere il vostro aiuto su una questione di geometria differenziale.
Seguendo il libro su cui sto studiando, cito:
Una superficie di rotazione è una superficie parametrizzata da
\[
\begin{pmatrix} \varphi (v) \cos u \\ \varphi (v) \sin u \\ \psi(v)\end{pmatrix}
\]
dove
\[
\begin{pmatrix} \varphi(v) \\ \psi(v) \end{pmatrix}
\]
è la curva generatrice giacente nel piano \(xz\) che viene ruotata intorno all'asse \(z\) e che soddisfa \(\psi(v) > 0\).
La curvatura Gaussiana è data da
\[
K = \frac{eg - f^2}{EG - F^2}
\]
dove \(e,f,g\) sono i coefficienti della seconda forma fondamentale ed \(E, F, G\) quelli della prima.
Il libro prosegue con
\[
E = \varphi^2 \qquad F = 0 \qquad G = (\varphi')^2 + (\psi')^2
\]
e poi dice "è conveniente assumere che la curva rotante sia parametrizzata dalla lunghezza d'arco, così che \((\varphi')^2 + (\psi')^2 = 1\)".
Poi svolge altri conti ed arriva a
\[
K = - \frac{\psi' ( \psi' \varphi'' - \psi'' \varphi')}{\varphi}
\]
poi differenzia la relazione \((\varphi')^2 + (\psi')^2 = 1\), la butta nella precedente e tira fuori
\[
K = -\frac{\varphi''}{\varphi}
\]
Ora arriviamo alla pratica: quest'ultima formula è molto semplice ma altrettanto sospetta. In particolare, non capisco perché la curvatura non dipenda da \(\psi\).
Inoltre se la provo sulla sfera, parametrizzata come
\[
\begin{pmatrix} \sin v \cos u \\ \sin v \sin u \\ \cos v \end{pmatrix}
\]
tutto torna infatti viene
\[
K = -\frac{\varphi''}{\varphi} = - \frac{-\sin v}{\sin v} = 1
\]
Il punto è che se provo con la pseudosfera
\[
\begin{pmatrix} \sin v \cos u \\ \sin v \sin u \\ \cos v + \tan\frac {v}{2} \end{pmatrix}
\]
mi viene lo stesso risultato, mentre dovrebbe essere \(K = -1\).
Questo mi fa pensare che dietro a queste formule ci siano delle ipotesi in più, e che il pezzo "è conveniente assumere che la curva rotante sia parametrizzata dalla lunghezza d'arco" non sia un'assunzione indolore. Dico bene?
In pratica, quando posso usare le formule che usano la parametrizzazione anziché i coefficienti delle forme fondamentali?
Ringrazio tutti per le risposte!
Risposte
Come in tutti i teoremi sulle curve (e di conseguenza sulle curve su superfici) i risultati risultano molto differenti se assumi come parametro uno qualsiasi oppure la lunghezza d'arco, ergo sta tutto lì! Pensa a quello che succede con la curvatura di una curva, in cui la formula con una qualsiasi parametrizzazione risulta "mostruosa" rispetto a quella con la parametrizzazione della lunghezza d'arco.
Per il secondo quesito: dici che la forma in cui hai posto la parametrizzazione della pseudosfera è quella con la lunghezza d'arco? A me pare di no!
Ecco perché quella formula non è valida. Un buon esercizio è scrivere la formula della curvatura Gaussiana senza quella ipotesi: e ti accorgerai che viene una cosa orrenda!
Per il secondo quesito: dici che la forma in cui hai posto la parametrizzazione della pseudosfera è quella con la lunghezza d'arco? A me pare di no!
Ecco perché quella formula non è valida. Un buon esercizio è scrivere la formula della curvatura Gaussiana senza quella ipotesi: e ti accorgerai che viene una cosa orrenda!
Perfetto! Come pensavo, quindi, diventa cruciale che la curva sia parametrizzata dalla lunghezza d'arco!
Grazie ciampax!
Grazie ciampax!
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