Curva C : $x^4 + y^4 -y(x^2+y^2)=0$
Verificare dopo aver studiato la curva che la sua parte reale è contenuta in un rettangolo.
Non so da dove partire . Saprei impostare la cosa se avesi un polinomio di secondo grado in x ed in y ma non di 4° grado.
A meno di fare una posizione :
$ x^2= t $ e $ y^2= z$
per cui:
$ t^2 + z^2 - sqrt z (t+z)=0 $ , ma anche qui non riesco ad intravedere niente di familiare per la presenza della radice.
Intuisco pero' che sicuramente c'è una parte immaginaria ed una parte reale.
Mi potete suggerire un procedimento? grazie tante.
Non so da dove partire . Saprei impostare la cosa se avesi un polinomio di secondo grado in x ed in y ma non di 4° grado.
A meno di fare una posizione :
$ x^2= t $ e $ y^2= z$
per cui:
$ t^2 + z^2 - sqrt z (t+z)=0 $ , ma anche qui non riesco ad intravedere niente di familiare per la presenza della radice.
Intuisco pero' che sicuramente c'è una parte immaginaria ed una parte reale.
Mi potete suggerire un procedimento? grazie tante.
Risposte
Si può risolvere la questione tagliando la curva con rette di equazione y=k ,x=h ma poi occcorre discutere la realità ed il segno delle radici di un'equazione biquadratica ( e qui ci siamo) ma anche di un'equazione completa di terzo grado e qui le cose si fanno più toste. Possiamo invece studiare la curva proposta ( come del resto è richiesto) e vedere cosa ne esce.
Si tratta di una quartica simmetrica rispetto all'asse y ( perché nell'equazione la variabile "x" si presenta con esponente pari). Essa taglia gli assi nei punti O(0,0) e A(0,1). Il primo di questi punti è un punto triplo perché mancano nell'equazione i termini di grado < 3. Si tratta di un punto triplo ordinario perchè il complesso tangente ad esso ha equazione :
\(\displaystyle y(x^2+y^2)=0 \) che si spezza nelle equazioni \(\displaystyle y=0,x+iy=0,x-iy=0 \)
Scrivendo l'equazione della quartica al seguente modo :
\(\displaystyle x^4+y^4=y(x^2+y^2) \)
si vede che è sempre \(\displaystyle y\geq 0 \) e quindi la curva giace nel semipiano delle ordinate positive. Inoltre passando a coordinate proiettive \(\displaystyle t,x,y \) [che alcuni autori indicano con \(\displaystyle x_0,x_1,x_2 \) ] si ha :
\(\displaystyle (x^4+y^4)-ty(x^2+y^2)=0 \)
Per \(\displaystyle t=0 \) si ha l'equazione \(\displaystyle x^4+y^4=0 \) che non ha soluzioni reali e dunque la quartica, non avendo punti reali all'infinito, è una curva chiusa . La parte reale della quartica sarà allora racchiudibile in un rettangolo ( minimo) dei cui lati occorre trovare le equazioni. Per fare ciò conviene passare alle equazioni parametriche della curva. Secando la stessa con le rette del tipo \(\displaystyle x=ty \) si hanno le suddette equazioni parametriche :
\(\displaystyle \begin{cases}x=\frac{t(t^2+1)}{t^4+1}\\y=\frac{t^2+1}{t^4+1}\end{cases} \)
Determinando con i metodi dell'Analisi gli estremi ( assoluti e relativi) delle funzioni x(t) e y(t) si trovano i seguenti risultati :
\(\displaystyle x_{min}=-1,x_{max}=1 ,y_{min}=0,y_{max}=\frac{1+\sqrt2}{2}\)
Pertanto le equazioni dei lati del rettangolo che racchiude la quartica sono :
\(\displaystyle x=-1,x=1,y=0,y=\frac{1+\sqrt2}{2} \)
così come indicati nella figura allegata.
Si potrebbe anche considerare la chiusura della curva nel piano proiettivo.
Si tratta della curva proiettiva di equazione omogenea $X^4+Y^4-YZ(X^2+Y^2)=0$.
La sua intersezione con la retta all'infinito $Z=0$ consiste nei punti
$[x:y:z]$ con $x^4+y^4=0$ e $z=0$. Poiche' $x$ non puo' essere zero,
possiamo prendere $x=1$. Ma allora $y$ soddisfa $y^4=-1$ e non e' reale.
Questo implica che i punti $[x:y:z]$ non sono reali.
Vediamo quindi che nel piano proiettivo reale, la curva non interseca la retta
all'infinito. Il luogo reale della curva e' quindi compatto ed e' contenuto in qualche
rettangolo.
Si tratta della curva proiettiva di equazione omogenea $X^4+Y^4-YZ(X^2+Y^2)=0$.
La sua intersezione con la retta all'infinito $Z=0$ consiste nei punti
$[x:y:z]$ con $x^4+y^4=0$ e $z=0$. Poiche' $x$ non puo' essere zero,
possiamo prendere $x=1$. Ma allora $y$ soddisfa $y^4=-1$ e non e' reale.
Questo implica che i punti $[x:y:z]$ non sono reali.
Vediamo quindi che nel piano proiettivo reale, la curva non interseca la retta
all'infinito. Il luogo reale della curva e' quindi compatto ed e' contenuto in qualche
rettangolo.
Salve. Stavo effettuando anch'io lo studio dell'esercizio di sopra, che prosegue in questa maniera:
Si determini, tra i triangoli inscritti in C, aventi un vertice nel punto A(0, 1) ed il lato opposto
parallelo alla tangente a C in A, quello di area massima.
Sto provando a risolverlo ma i calcoli mi sembrano complicati. Io sto operando in maniera classica: prendo due punti P e P' sulla curva, ovviamente simmetrici rispetto all'asse y; considero il triangolo che essi formano con A. Ma come faccio ad esplicitare la y dei punti P in funzione di x data l'equazione di C di quarto grado? C'è forse un ragionamento più veloce da effettuare per evitare tutti questi calcoli complicati?
Grazie a chiunque sappia darmi risposta.
Si determini, tra i triangoli inscritti in C, aventi un vertice nel punto A(0, 1) ed il lato opposto
parallelo alla tangente a C in A, quello di area massima.
Sto provando a risolverlo ma i calcoli mi sembrano complicati. Io sto operando in maniera classica: prendo due punti P e P' sulla curva, ovviamente simmetrici rispetto all'asse y; considero il triangolo che essi formano con A. Ma come faccio ad esplicitare la y dei punti P in funzione di x data l'equazione di C di quarto grado? C'è forse un ragionamento più veloce da effettuare per evitare tutti questi calcoli complicati?
Grazie a chiunque sappia darmi risposta.
Si può provare con la rappresentazione parametrica di C :
(1) \( \displaystyle \begin{cases}x=\frac{t(t^2+1)}{t^4+1}\\y=\frac{t^2+1}{t^4+1}\end{cases} \)
Come da figura allegata ipotizzo che :
M=(-x,y) ; N=(x,y)
L'ascissa del punto N sia positiva : x>0
L'ordinata comune di M ed N sia compresa tra 0 ed 1 : 0
L'area S del triangolo AMN è data da :
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}MN\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot 2x \cdot (1-y)=x(1-y) \)
E sostituendo le (1) si ha:
\(\displaystyle S=f(t)=\frac{t^3(t^4-1)}{(t^4+1)^4}, t>0 \)
Derivando rispetto a t :
\(\displaystyle f'(t)=\frac{t^2}{(t^4+1)^3}\cdot (-t^8+12t^4-3)\)
Trascurando i fattori sicuramente positivi la disequazione \(\displaystyle f'(t)>0 \) si risolve come :
\(\displaystyle t^8-12t^4+3<0 \)
e cioé per : \(\displaystyle 6-\sqrt{33}
\(\displaystyle \sqrt[4]{ 6-\sqrt{33}}
e sostituendo tale valore di t nella seconda delle (1) si ottiene :
\(\displaystyle y=\frac{1+\sqrt{6+\sqrt{33}}}{7+\sqrt{33}} \)
che rappresenta l'equazione della retta MN che genera il triangolo AMN di area massima. Come richiesto.
Grazie mille per la spiegazione molto dettagliata. 
Rivedendo però tutto l'esercizio dall'inizio ho riscontrato un risultato diverso per quanto riguarda il valore massimo della funzione y(t). A me infatti viene:
\(\displaystyle y_{max}=\sqrt{{\sqrt2}-1}\)
Ho provato a fare più volte i calcoli...
Edito per un chiarimento: la tangente alla curva nel punto A la consideriamo parallela all'asse delle x in maniera intuitiva... Ma quale spiegazione rigorosa se ne può dare? Il fatto che la curva sia simmetrica rispetto all'asse delle ordinate potrebbe essere una motivazione valida?
Rivedendo però tutto l'esercizio dall'inizio ho riscontrato un risultato diverso per quanto riguarda il valore massimo della funzione y(t). A me infatti viene:
\(\displaystyle y_{max}=\sqrt{{\sqrt2}-1}\)
Ho provato a fare più volte i calcoli...
Edito per un chiarimento: la tangente alla curva nel punto A la consideriamo parallela all'asse delle x in maniera intuitiva... Ma quale spiegazione rigorosa se ne può dare? Il fatto che la curva sia simmetrica rispetto all'asse delle ordinate potrebbe essere una motivazione valida?
Per avere la tangente a C in A si può applicare la solita formula :
(1) \(\displaystyle y-f(x_o)=f'(x_o)(x-x_o) \)
Nel nostro caso è \(\displaystyle x_o=0,f(x_o)=y_o=1 \) mentre per avere \(\displaystyle f'(x_o) \) occorre derivare in modo implicito l'equazione di C rispetto ad x :
\(\displaystyle 4x^3+4y^3y'-2xy-x^2y'-3y^2y'=0 \)
Da cui :
\(\displaystyle y'=\frac{4x^3-2xy}{3y^2+x^2-4y^3} \)
Sostituendo le coordinate di A :
\(\displaystyle y'(A)=\frac{0}{-1}=0 \)
Pertanto utilizzando la (1) abbiamo :
\(\displaystyle y-1=0\cdot (x-0) \) ovvero \(\displaystyle y=1\) C.D.D.
Quanto al valore massimo, pur non escludendo miei errori, devo dire di aver verificato la cosa con un'animazione in GeoGebra, facendo muovere verso l'alto e verso il basso il segmento MN e facendo calcolare a GeoGebra di volta in volta l'area di AMN. Il risultato massimo è stato quello che ho riportato.
(1) \(\displaystyle y-f(x_o)=f'(x_o)(x-x_o) \)
Nel nostro caso è \(\displaystyle x_o=0,f(x_o)=y_o=1 \) mentre per avere \(\displaystyle f'(x_o) \) occorre derivare in modo implicito l'equazione di C rispetto ad x :
\(\displaystyle 4x^3+4y^3y'-2xy-x^2y'-3y^2y'=0 \)
Da cui :
\(\displaystyle y'=\frac{4x^3-2xy}{3y^2+x^2-4y^3} \)
Sostituendo le coordinate di A :
\(\displaystyle y'(A)=\frac{0}{-1}=0 \)
Pertanto utilizzando la (1) abbiamo :
\(\displaystyle y-1=0\cdot (x-0) \) ovvero \(\displaystyle y=1\) C.D.D.
Quanto al valore massimo, pur non escludendo miei errori, devo dire di aver verificato la cosa con un'animazione in GeoGebra, facendo muovere verso l'alto e verso il basso il segmento MN e facendo calcolare a GeoGebra di volta in volta l'area di AMN. Il risultato massimo è stato quello che ho riportato.
Per il valore massimo pur avendo rifatto più volte i conti non sono esclusi miei errori... Imbranata come sono spesso non vedo le piccolezze! In ogni caso mi interessava più il procedimento che l'esattezza delle soluzioni.
Per il resto... grazie mille per l'aiuto e la disponibilità.
Per il resto... grazie mille per l'aiuto e la disponibilità.
Ho rifatto i conti e... ovviamente sbagliavo in qualcosa 
In riferimento alle equazioni parametriche della curva:
\(\displaystyle \begin{cases}x=\frac{t(t^2+1)}{t^4+1}\\y=\frac{t^2+1}{t^4+1}\end{cases} \)
Studiando la y(t) mi trovo che il massimo coincide con
\(\displaystyle y_{max}=\frac{1+\sqrt2}{2}\)
Ma avendo ritrovato il massimo mi sono persa il minimo!
Il minimo di y(t) lo ottengo per t=0... che sostituito nell'espressione di y(t) ci dà:
\(\displaystyle y_{min}=1\).
E' indubbio però che il minimo sia 0... come faccio allora a farmi ritornare i calcoli?
EDIT: penso di averlo capito... Dipende dal fatto che per parametrizzare si è preso rette passanti per l'origine. Ora... per t=0 abbiamo la retta x=0 che interseca la curva nel punto A e nell'origine stessa. Ed il minimo tra il valore di y in A ed il valore nell'origine è uguale a quest'ultimo...
Vale come ragionamento?
In riferimento alle equazioni parametriche della curva:
\(\displaystyle \begin{cases}x=\frac{t(t^2+1)}{t^4+1}\\y=\frac{t^2+1}{t^4+1}\end{cases} \)
Studiando la y(t) mi trovo che il massimo coincide con
\(\displaystyle y_{max}=\frac{1+\sqrt2}{2}\)
Ma avendo ritrovato il massimo mi sono persa il minimo!
Il minimo di y(t) lo ottengo per t=0... che sostituito nell'espressione di y(t) ci dà:
\(\displaystyle y_{min}=1\).
E' indubbio però che il minimo sia 0... come faccio allora a farmi ritornare i calcoli?
EDIT: penso di averlo capito... Dipende dal fatto che per parametrizzare si è preso rette passanti per l'origine. Ora... per t=0 abbiamo la retta x=0 che interseca la curva nel punto A e nell'origine stessa. Ed il minimo tra il valore di y in A ed il valore nell'origine è uguale a quest'ultimo...
Vale come ragionamento?
Intanto vorrei proporre l'ultima parte del problema, che richiede di calcolare il volume del solido che si ottiene facendo ruotare nello spazio, di coordinate x, y, z, la regione di piano delimitata da C di mezzo giro attorno al suo asse di simmetria.
Ora... l'asse di simmetria è l'asse delle ordinate. Ho riscritto la curva in funzione delle potenze decrescenti di x:
\(\displaystyle x^4-yx^2-y^3+y^4=0 \)
Studio il discriminante e se non ho sbagliato i calcoli trovo che è positivo nell'intervallo definito dal rettangolo nel quale è racchiusa la curva.
E poi... non so più come andare avanti!
Ora... l'asse di simmetria è l'asse delle ordinate. Ho riscritto la curva in funzione delle potenze decrescenti di x:
\(\displaystyle x^4-yx^2-y^3+y^4=0 \)
Studio il discriminante e se non ho sbagliato i calcoli trovo che è positivo nell'intervallo definito dal rettangolo nel quale è racchiusa la curva.
E poi... non so più come andare avanti!
Ho cercato di impostare l'integrale in questo modo:
Risolvo l'eq. ottenendo:
\(\displaystyle x_{1,2}^2= \frac{y(1 \pm \sqrt{1-4y^2+4y})}{2} \)
Elimino la soluzione con il meno essendo senz'altro negativa. Quindi calcolo il volume così:
$V = \pi int_0^\frac{1 + sqrt{2}}{2} y(1 + \sqrt{1-4y^2+4y})dy$
Cerco di risolvere l'integrale per sostituzione, ma ad un certo punto mi fermo, trovandomi in presenza di rapporti di polinomi di quinto (al numeratore) e ottavo grado (al denominatore) non semplificabili. Ci possono stare anche vari errori di calcolo essendo tutto il procedimento alquanto complicato. Però prima di ripetere nuovamente tutti i calcoli mi si pone il dubbio che l'integrale da me utilizzato sia sbagliato. Qualcuno sarebbe in grado di dirmi se sto sbagliando in qualcosa?
Risolvo l'eq. ottenendo:
\(\displaystyle x_{1,2}^2= \frac{y(1 \pm \sqrt{1-4y^2+4y})}{2} \)
Elimino la soluzione con il meno essendo senz'altro negativa. Quindi calcolo il volume così:
$V = \pi int_0^\frac{1 + sqrt{2}}{2} y(1 + \sqrt{1-4y^2+4y})dy$
Cerco di risolvere l'integrale per sostituzione, ma ad un certo punto mi fermo, trovandomi in presenza di rapporti di polinomi di quinto (al numeratore) e ottavo grado (al denominatore) non semplificabili. Ci possono stare anche vari errori di calcolo essendo tutto il procedimento alquanto complicato. Però prima di ripetere nuovamente tutti i calcoli mi si pone il dubbio che l'integrale da me utilizzato sia sbagliato. Qualcuno sarebbe in grado di dirmi se sto sbagliando in qualcosa?
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