Cubo di Hilbert
Bene, ecco a voi un altro quesito possibilmente da risolvere con le successioni!
Mostrare che il cubo di Hilbert $H = {u \in l^2(NN)| |t_n|<=1/n, n \in NN}$, con $l^2(NN) = {(t_n) \in RR t.c. sum_{n=1}^oo |t_n|^2
Mostrare che il cubo di Hilbert $H = {u \in l^2(NN)| |t_n|<=1/n, n \in NN}$, con $l^2(NN) = {(t_n) \in RR t.c. sum_{n=1}^oo |t_n|^2
Risposte
io penserei al teorema di Tychonoff....
attenzione, la topologia della convergenza forte non è la topologia prodotto
e poi non "vedo" il cubo di Hilbert come prodotto di infiniti spazi topologici
e poi non "vedo" il cubo di Hilbert come prodotto di infiniti spazi topologici
Avevo già trovato qualcosa relativa al teorema di Tychonoff (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_cube), ma non credo che sia la giustificazione che fa al caso mio... vorrei trattare il problema utilizzando le successioni (di successioni).
Ho anche trovato questo: http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_a_topologist_2005;task=show_msg;msg=2843.0001.
E' quello che cerco io, il problema è che non riesco a capire bene... qualcuno può darmi una mano ad interpretare la soluzione o comunque partendo da quella a costruirne una nuova?
Grazie
Ho anche trovato questo: http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_a_topologist_2005;task=show_msg;msg=2843.0001.
E' quello che cerco io, il problema è che non riesco a capire bene... qualcuno può darmi una mano ad interpretare la soluzione o comunque partendo da quella a costruirne una nuova?
Grazie
Prova a far così:
prendi una successione $x_n$: vuoi determinare una sottosuccessione convergente $y_k$....
Visto che quella norma considera separatamente i contributi dei vari elementi della successione, fissato un indice $i$, vorrai che la sottosuccessione stia convergendo bene "elemento per elemento", ovvero che definitivamente (in k) gli $y_k(i)$ (con questa notazione intendo l'elemento i_esimo della k_esima successione) siano vicini.
Comincia a capire come estrarre una sottosuccessione per il primo indice che li renda "vicini".
A questa punto da questa ne estrarrai un'altra che renda vicina anche il secondo.
E così via.
A queso punto avrai una "tabella" di successioni... metti sulla prima colonna le successioni in cui converge il primo elemento, sulla colonna di fianco la sott-successione di queste in cui converge anche il secondo, sulla terza colonna... e così via... E ora, procedimento diagonale!...
ti rimane da mostrare se questa sotto-successione è di Cauchy...
prendi una successione $x_n$: vuoi determinare una sottosuccessione convergente $y_k$....
Visto che quella norma considera separatamente i contributi dei vari elementi della successione, fissato un indice $i$, vorrai che la sottosuccessione stia convergendo bene "elemento per elemento", ovvero che definitivamente (in k) gli $y_k(i)$ (con questa notazione intendo l'elemento i_esimo della k_esima successione) siano vicini.
Comincia a capire come estrarre una sottosuccessione per il primo indice che li renda "vicini".
A questa punto da questa ne estrarrai un'altra che renda vicina anche il secondo.
E così via.
A queso punto avrai una "tabella" di successioni... metti sulla prima colonna le successioni in cui converge il primo elemento, sulla colonna di fianco la sott-successione di queste in cui converge anche il secondo, sulla terza colonna... e così via... E ora, procedimento diagonale!...
ti rimane da mostrare se questa sotto-successione è di Cauchy...
"Fioravante Patrone":
attenzione, la topologia della convergenza forte non è la topologia prodotto
e poi non "vedo" il cubo di Hilbert come prodotto di infiniti spazi topologici
giusto, anche perchè la topologia della convergenza forte non so neanche come è definita
avevo letto in modo troppo affrettato. sorry!
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