Costruire fasci di coniche
Salve, potreste aiutarmi con la costruzione di alcuni fasci di coniche? Fino a ieri avevo incontrato solo quelli che si costruiscono mediante le spezzate in 4 punti distinti o con la tangente, ma oggi mi sono imbattuto in questi due esercizi che mi chiedono:
1) Nel piano $z=0$ costruire il fascio di coniche avente la retta $x-y=0$ come asse di simmetria, il punto A $(-1,-1,0)$ come centro di simmetria e passanti per B $(-2,-2,0)$.
2) Costruire il fascio di coniche passanti per l'origine e per il punto E $(1,2)$, aventi la retta $2x-y=0$ come asse di simmetria.
I due esercizi sono molto simili; il mio dubbio era, sia nel primo che nel secondo, i punti per cui passano le coniche stanno sugli assi di simmetria, ma allora forse le informazioni per costruire tale fascio non sono sufficienti? I fasci di coniche dovrebbero contenere l'asse si simmetria due volte e poi che altro, cosa dovrei metterci come seconda espressione?
1) Nel piano $z=0$ costruire il fascio di coniche avente la retta $x-y=0$ come asse di simmetria, il punto A $(-1,-1,0)$ come centro di simmetria e passanti per B $(-2,-2,0)$.
2) Costruire il fascio di coniche passanti per l'origine e per il punto E $(1,2)$, aventi la retta $2x-y=0$ come asse di simmetria.
I due esercizi sono molto simili; il mio dubbio era, sia nel primo che nel secondo, i punti per cui passano le coniche stanno sugli assi di simmetria, ma allora forse le informazioni per costruire tale fascio non sono sufficienti? I fasci di coniche dovrebbero contenere l'asse si simmetria due volte e poi che altro, cosa dovrei metterci come seconda espressione?
Risposte
"Genryuusai":
2) Costruire il fascio di coniche passanti per l'origine e per il punto E $(1,2)$, aventi la retta $2x-y=0$ come asse di simmetria.
Ecco l'equazione del fascio:
$lambda_1 (x + 2y) (x + 2y - 5) + lambda_2 (2x - y)^2 = 0$ .
Grazie per la risposta ! Allora, vediamo se ho capito...come seconda conica spezzata hai scelto quella nella perpendicolare all'asse, ed è giustissimo farlo, se dà l'asse di simmetria ci deve essere anche il suo perpendicolare, solo che non ci avevo pensato quando ho scritto 
e un'altra retta, perpendicolare all'asse e passante per il punto $(1,2)$... si tratta di un fascio di coniche bitangenti rispettivamente nell'origine e nel punto $(1,2)$.
Quindi, seguendo questo stesso ragionamento il fascio 1) dovrebbe avere equazione $lambda_1(x+y)(x+y+4)+lambda_2(x-y)^2=0$...è giusto?
e un'altra retta, perpendicolare all'asse e passante per il punto $(1,2)$... si tratta di un fascio di coniche bitangenti rispettivamente nell'origine e nel punto $(1,2)$.Quindi, seguendo questo stesso ragionamento il fascio 1) dovrebbe avere equazione $lambda_1(x+y)(x+y+4)+lambda_2(x-y)^2=0$...è giusto?
"Genryuusai":
1) Nel piano $z=0$ costruire il fascio di coniche avente la retta $x-y=0$ come asse di simmetria, il punto A $(-1,-1,0)$ come centro di simmetria e passanti per B $(-2,-2,0)$.
Visto che $A$ è il centro di simmetria, l'origine deve stare sulla conica; inoltre, dato che $B$ e $O$ stanno sull'asse di simmetria della conica,
le tangenti in $B$ e $O$ saranno (rispettivamente) $x+y+4=0$ e $x+y=0$.
L'equazione del fascio è, pertanto:
$(x+y+4)(x+y) + lambda (x-y)^2 = 0$ .
Ciao, non ho capito perchè l'equazione del fascio è $(x+y+4)(x+y)+\lambda(x-y)^2$ anzichè $\lambda_1(x+y+4)(x+y)+\lambda_2(x-y)^2$.
grazie in anticipo per la risposta...
grazie in anticipo per la risposta...
"tinam73":
Ciao, non ho capito perchè l'equazione del fascio è $(x+y+4)(x+y)+\lambda(x-y)^2$ anzichè $\lambda_1(x+y+4)(x+y)+\lambda_2(x-y)^2$.
grazie in anticipo per la risposta...
L'unica differenza consiste in questo:
il mio fascio "perde" la conica degenere $(x-y)^2=0$, mentre la tua no.
Però i calcoli si fanno bene con un parametro solo!!
Come puoi vedere in un mio precedete messaggio, per scrivere il fascio è bene usare
due parametri, ma in pratica uno lo poni $=1$, stando attenti però a quale conica perdiamo:
nel nostro caso si tratta di una conica degenere.
ma in pratica non cambia nulla....io posso comunque utilizzare entrambi i parametri, non è sbagliato, oppure si?
ma in questi casi per trovare il fascio cosa si fà? si scrive una conica spezzata dalle due tangenti per i due punti e poi l'altra conica sarà la perpendicolare all'asse di simmetria, giusto?
ma perchè per creare il fascio, una conica deve essere perpendicolare all'asse di simmetria?
ma perchè per creare il fascio, una conica deve essere perpendicolare all'asse di simmetria?
"tinam73":
ma in pratica non cambia nulla....io posso comunque utilizzare entrambi i parametri, non è sbagliato, oppure si?
Il fatto è che io, personalmente, ci lavoro peggio rispetto a un solo parametro!
"tinam73":
ma in questi casi per trovare il fascio cosa si fà? si scrive una conica spezzata dalle due tangenti per i due punti e poi l'altra conica sarà la perpendicolare all'asse di simmetria, giusto?
ma perchè per creare il fascio, una conica deve essere perpendicolare all'asse di simmetria?
Scrivi il testo di un esercizio e ti rispondo.
Così non capisco la tua domanda.
intendo, quando deve scrivere il fascio di coniche che ha una retta $r$ che è asse di simmetria e due punti $A$ e $B$ che devono esse tangenti, come si procede? è corretto così?
scrivo l'equazione di una retta $s$ perpendicolare ad $r$ e passante per $A$, poi scrivo l'equazione di una retta $q$ perpendicolare ad $r$ e passante per $B$; a questo punto scrivo:
$\lambda_1(s)(q)+\lambda_2(r)^2=0$
in ogni caso è possibile mettere un parametro $=1$ ? se si, in base a cosa si fa la scelta, se porre $\lambda_1=1$ oppure $\lambda_2=2$?
scrivo l'equazione di una retta $s$ perpendicolare ad $r$ e passante per $A$, poi scrivo l'equazione di una retta $q$ perpendicolare ad $r$ e passante per $B$; a questo punto scrivo:
$\lambda_1(s)(q)+\lambda_2(r)^2=0$
in ogni caso è possibile mettere un parametro $=1$ ? se si, in base a cosa si fa la scelta, se porre $\lambda_1=1$ oppure $\lambda_2=2$?
"tinam73":
intendo, quando deve scrivere il fascio di coniche che ha una retta $r$ che è asse di simmetria e due punti $A$ e $B$ che devono esse tangenti, come si procede? è corretto così?
Due punti tangenti? Spiegati meglio.
scusami ho sbagliato, intendevo che deve passare per i punti $A$ e $B$
"tinam73":
scusami ho sbagliato, intendevo che deve passare per i punti $A$ e $B$
Allora, ci sono diversi casi:
se i due punti $A$ e $B$ non appartengono all'asse $r$ di simmetria puoi calcolare
i punti simmetrici $A'$ e $B'$ e costruire il fascio di coniche
passanti per $A,B,A',B'$.
Osservazio: può accadere che $A$ e $B$ siano simmetrici: allora in questo caso hai un'informazione
ridondante (ad esempio puoi fare a meno di $B$) e non hai un fascio perché hai bisogno
di un'altra informazione.
Poi ci sono i casi in cui almeno uno dei due punti sta sull'asse:
tieni presente che se un punto sta sull'asse le coniche saranno tangenti
alla retta $s$ perpendicolare a $r$ e passante per il punto.
Grazie mille!!! Sei stato gentilissimo!!! 
però ho molta confusione e devo farti 2 richieste.....
PRIMA: come si fa a trovare i punti simmetrici ($A'$ e $B'$) ad $A$ e $B$?
SECONDA: mi riusciresti a fare degli esempi (uno per ogni caso che mi hai descritto)?
però ho molta confusione e devo farti 2 richieste.....
PRIMA: come si fa a trovare i punti simmetrici ($A'$ e $B'$) ad $A$ e $B$?
SECONDA: mi riusciresti a fare degli esempi (uno per ogni caso che mi hai descritto)?
"tinam73":
Grazie mille!!! Sei stato gentilissimo!!!
però ho molta confusione e devo farti 2 richieste.....
PRIMA: come si fa a trovare i punti simmetrici ($A'$ e $B'$) ad $A$ e $B$?
SECONDA: mi riusciresti a fare degli esempi (uno per ogni caso che mi hai descritto)?
PRIMA RICHIESTA: Per costruire $A'$ (simmetrico di $A$ rispetto a $r$) prendi la retta $s$
perpendicolare a $r$ e passante per $A$, determini le coordinate del punto intersezione $M = r \cap s$
e poi imponi che $M$ sia il punto medio del segmento $A A'$, trovando le coordinate di $A'$.
In fomule hai:
${(x_M = (x_A + x_{A'})/2) , (y_M = (y_A + y_{A'})/2):}$
da cui
${(x_{A'} = 2 x_M - x_A),(y_{A'} = 2 y_M - y_A):}$
"tinam73":
SECONDA: mi riusciresti a fare degli esempi (uno per ogni caso che mi hai descritto)?
Scrivo tre esempi per i tre casi:
1) Fascio di coniche aventi per asse di simmetria la retta $r : y=x$ e passanti per $A=(2;0)$ e $B=(4,1)$.
I due punti non stanno sull'asse, quindi possiamo calcolare i simmetrici:
$A'=(0;2)$ ; $B'=(1;4)$ .
A questo punto scrivi il fascio delle coniche passanti per $A,B,A',B'$.
2) Fascio di coniche aventi per asse di simmetria la retta $r : y=x$ e passanti per $A=(2;0)$ e $B=(3,3)$.
In questo caso $B$ sta sull'asse $r$, mentre $A$ no.
Il punto simmetrico di $A$ rispetto a $r$ è $A'=(0;2)$.
A questo punto basta scrivere il fascio di coniche tangenti alla retta $x+y=6$ nel punto $B$
e passanti per $A=(2;0)$ e $A'=(0,2).$
3) Fascio di coniche aventi per asse di simmetria la retta $r : y=x$ e passanti per $A=(-1;-1)$ e $B=(4,4)$.
In questo caso $A$ e $B$ stanno sull'asse $r$, quindi costruisci il fascio di coniche tangenti alle rette
$x+y=-2$ e $x+y=8$ nei punti, rispettivamente, $A$ e $B$.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
"franced" visto che sei così gentile e disponibile 
... potresti concludermi gli esercizi in modo che possa avere sott'occhio degli esempi completi su cui far riferimento per studiare?? grazie ancora per la pazienza!
... potresti concludermi gli esercizi in modo che possa avere sott'occhio degli esempi completi su cui far riferimento per studiare?? grazie ancora per la pazienza!
"franced":
1) Fascio di coniche aventi per asse di simmetria la retta $r : y=x$ e passanti per $A=(2;0)$ e $B=(4,1)$.
I due punti non stanno sull'asse, quindi possiamo calcolare i simmetrici:
$A'=(0;2)$ ; $B'=(1;4)$ .
A questo punto scrivi il fascio delle coniche passanti per $A,B,A',B'$.
Ti scrivi, ad esempio, le equazioni cartesiane delle rette $A B$, $A' B'$, $A B'$, $A' B$, poi
scrivi il fascio così:
$lambda_1 (A B)*(A' B') + lambda_2 (A B')*(A' B) = 0$ .
"franced":
2) Fascio di coniche aventi per asse di simmetria la retta $r : y=x$ e passanti per $A=(2;0)$ e $B=(3,3)$.
In questo caso $B$ sta sull'asse $r$, mentre $A$ no.
Il punto simmetrico di $A$ rispetto a $r$ è $A'=(0;2)$.
A questo punto basta scrivere il fascio di coniche tangenti alla retta $x+y=6$ nel punto $B$
e passanti per $A=(2;0)$ e $A'=(0,2)$ .
Ti scrivi le equazioni delle rette $AB$, $A' B$, $A A'$
$lambda_1 (A A')*(x + y - 6) + lambda_2 (AB)*(A' B) = 0$ .
"franced":
3) Fascio di coniche aventi per asse di simmetria la retta $r : y=x$ e passanti per $A=(-1;-1)$ e $B=(4,4)$.
In questo caso $A$ e $B$ stanno sull'asse $r$, quindi costruisci il fascio di coniche tangenti alle rette
$x+y=-2$ e $x+y=8$ nei punti, rispettivamente, $A$ e $B$.
Qui le cose sono semplici:
$lambda_1 (x + y + 2)*(x + y - 8) + lambda_2 (x - y)^2 = 0$ .
Grazie mille sei stato gentilissimo!
"tinam73":
Grazie mille sei stato gentilissimo!
Prego.
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