Costruire fasci di coniche
Salve, potreste aiutarmi con la costruzione di alcuni fasci di coniche? Fino a ieri avevo incontrato solo quelli che si costruiscono mediante le spezzate in 4 punti distinti o con la tangente, ma oggi mi sono imbattuto in questi due esercizi che mi chiedono:
1) Nel piano $z=0$ costruire il fascio di coniche avente la retta $x-y=0$ come asse di simmetria, il punto A $(-1,-1,0)$ come centro di simmetria e passanti per B $(-2,-2,0)$.
2) Costruire il fascio di coniche passanti per l'origine e per il punto E $(1,2)$, aventi la retta $2x-y=0$ come asse di simmetria.
I due esercizi sono molto simili; il mio dubbio era, sia nel primo che nel secondo, i punti per cui passano le coniche stanno sugli assi di simmetria, ma allora forse le informazioni per costruire tale fascio non sono sufficienti? I fasci di coniche dovrebbero contenere l'asse si simmetria due volte e poi che altro, cosa dovrei metterci come seconda espressione?
1) Nel piano $z=0$ costruire il fascio di coniche avente la retta $x-y=0$ come asse di simmetria, il punto A $(-1,-1,0)$ come centro di simmetria e passanti per B $(-2,-2,0)$.
2) Costruire il fascio di coniche passanti per l'origine e per il punto E $(1,2)$, aventi la retta $2x-y=0$ come asse di simmetria.
I due esercizi sono molto simili; il mio dubbio era, sia nel primo che nel secondo, i punti per cui passano le coniche stanno sugli assi di simmetria, ma allora forse le informazioni per costruire tale fascio non sono sufficienti? I fasci di coniche dovrebbero contenere l'asse si simmetria due volte e poi che altro, cosa dovrei metterci come seconda espressione?
Risposte
Un'ultima cosa velocissima...
il fascio di coniche in generale si scrive come:
$\lambda_1(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)+\lambda_2(a'x^2+b'xy+c'y^2+d'x+e'y+f')=0$
perchè invece nei casi dei tuoi esempi le due equazioni generali della conica risultano uno spezzato di rette?
cioè non si ha $\lambda_1(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)+\lambda_2(a'x^2+b'xy+c'y^2+d'x+e'y+f')=0$
ma si ha per esempio $\lambda_1(ax+by+c)(ax+by+d)+\lambda_2(ax+by)^2=0$ ?
perchè sono coniche degeneri?
il fascio di coniche in generale si scrive come:
$\lambda_1(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)+\lambda_2(a'x^2+b'xy+c'y^2+d'x+e'y+f')=0$
perchè invece nei casi dei tuoi esempi le due equazioni generali della conica risultano uno spezzato di rette?
cioè non si ha $\lambda_1(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)+\lambda_2(a'x^2+b'xy+c'y^2+d'x+e'y+f')=0$
ma si ha per esempio $\lambda_1(ax+by+c)(ax+by+d)+\lambda_2(ax+by)^2=0$ ?
perchè sono coniche degeneri?
"tinam73":
Un'ultima cosa velocissima...
il fascio di coniche in generale si scrive come:
$\lambda_1(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)+\lambda_2(a'x^2+b'xy+c'y^2+d'x+e'y+f')=0$
perchè invece nei casi dei tuoi esempi le due equazioni generali della conica risultano uno spezzato di rette?
cioè non si ha $\lambda_1(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)+\lambda_2(a'x^2+b'xy+c'y^2+d'x+e'y+f')=0$
ma si ha per esempio $\lambda_1(ax+by+c)(ax+by+d)+\lambda_2(ax+by)^2=0$ ?
perchè sono coniche degeneri?
Certo.
Una curiosità: ma hai un libro dove studiare queste cose?
no...non sono una studentessa, sono solo una che ha ritrovato una certa passione per la matematica, ormai troppo tardi....in "tinam73", il "73" è l'anno di nascita....
un'altra cosa...sapresti spiegarmi perchè sono degeneri?
un'altra cosa...sapresti spiegarmi perchè sono degeneri?
"tinam73":
no...non sono una studentessa, sono solo una che ha ritrovato una certa passione per la matematica, ormai troppo tardi....in "tinam73", il "73" è l'anno di nascita....
un'altra cosa...sapresti spiegarmi perchè sono degeneri?
Le coniche non degeneri, tanto per capirsi, sono le ellissi, le parabole e le iperboli.
P.S. Non è mai troppo tardi per studiare!
Chiedo scusa per l'intromissione, ma l'argomento è il medesimo....
Un esercizio chiede di determinare un'equazione di una parabola con asse parallelo alla retta $y+2x-1=0$ e passante per i punti $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(4,7)$.
All'inizio avevo pensato di costruire un fascio di coniche e successivamente determinare il parametro per ottenere la parabola voluta, però non saprei che coniche degeneri utilizzare per costruirlo.
Ho a disposizione le rette AC, AB, BC ma mi manca una quarta retta e non so come utilizzare il fatto di avere una retta parallela all'asse della parabola.
Un esercizio chiede di determinare un'equazione di una parabola con asse parallelo alla retta $y+2x-1=0$ e passante per i punti $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(4,7)$.
All'inizio avevo pensato di costruire un fascio di coniche e successivamente determinare il parametro per ottenere la parabola voluta, però non saprei che coniche degeneri utilizzare per costruirlo.
Ho a disposizione le rette AC, AB, BC ma mi manca una quarta retta e non so come utilizzare il fatto di avere una retta parallela all'asse della parabola.
"Ska":
Un esercizio chiede di determinare un'equazione di una parabola con asse parallelo alla retta $y+2x-1=0$ e passante per i punti $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(4,7)$.
Il punto improprio della retta $y+2x-1=0$ è $P=(1;-2;0)$, quindi ti costruisci il fascio di parabole
nel modo seguente:
1) sono tangenti alla retta impropria in $P$ ;
2) passano per $A$ e$B$ .
Una volta scritto il fascio ti basta determinare il valore del parametro imponendo
il passaggio per $C$.
Non so se sono stato chiaro..
"franced":
Il punto improprio della retta $y+2x-1=0$ è $P=(1;-2;0)$, quindi ti costruisci il fascio di parabole
nel modo seguente:
1) sono tangenti alla retta impropria in $P$ ;
2) passano per $A$ e$B$ .
Una volta scritto il fascio ti basta determinare il valore del parametro imponendo
il passaggio per $C$.
Non so se sono stato chiaro..
sinceramente nn ho capito.... ok, P appartiene alla retta data ed è un punto improprio, questo mi consente di considerare quella retta come la tangente in quel punto?
Chiedo scusa se ho detto cavolate... ma non sono praticissimo con questi argomenti...
"Ska":
[quote="franced"]
Il punto improprio della retta $y+2x-1=0$ è $P=(1;-2;0)$, quindi ti costruisci il fascio di parabole
nel modo seguente:
1) sono tangenti alla retta impropria in $P$ ;
2) passano per $A$ e$B$ .
Una volta scritto il fascio ti basta determinare il valore del parametro imponendo
il passaggio per $C$.
Non so se sono stato chiaro..
sinceramente nn ho capito.... ok, P appartiene alla retta data ed è un punto improprio, questo mi consente di considerare quella retta come la tangente in quel punto?
Chiedo scusa se ho detto cavolate... ma non sono praticissimo con questi argomenti...[/quote]
Si tratta di un fascio di coniche tangenti alla retta impropria (di equazione $x_3 = 0$) nel punto $P(1;-2;0)$
e passanti per $A$ e $B$.
Il passaggio per $C$ lo imponi successivamente.
quindi il fascio che devo usare è costituito dalla coniche $C1: x_3 (x_2 - x_3)$ e $C2: (2x_1 + x_2 - 3x_3)(2x_1 + x_2 - 9x_3)$ dove $C2$ è la conica formata dalle rette che collegano rispettivamente $A$ e $B$ al punto $P$, quindi sono rette passanti per $A$ e $B$ con parametri direttori dati $P$.
Ho capito correttamente?
Ho capito correttamente?
"Ska":
quindi il fascio che devo usare è costituito dalla coniche $C1: x_3 (x_2 - x_3)$ e $C2: (2x_1 + x_2 - 3x_3)(2x_1 + x_2 - 9x_3)$ dove $C2$ è la conica formata dalle rette che collegano rispettivamente $A$ e $B$ al punto $P$, quindi sono rette passanti per $A$ e $B$ con parametri direttori dati $P$.
Ho capito correttamente?
Perfetto!
Ancora una cosa.... però non ho capito perchè bisogna usare il punto improprio dato dalla retta $y+2x-1=0$.... il fatto che questa sia parallela all'asse e non una retta qualsiasi cambia qualcosa?
Ancora grazie per il prezioso aiuto.
Ancora grazie per il prezioso aiuto.
"Ska":
Ancora una cosa.... però non ho capito perchè bisogna usare il punto improprio dato dalla retta $y+2x-1=0$.... il fatto che questa sia parallela all'asse e non una retta qualsiasi cambia qualcosa?
Ancora grazie per il prezioso aiuto.
Ovviamente se nel testo dell'esercizio c'era la retta $y+2x+3456=0$ non cambiava niente!
sì ok.... ma se avessi avuto $y+3x+2=0$ che non è parallela all'asse?
Non riesco a capire se la proprietà di essere parallela all'asse è utile o meno...
Poi è sempre possibile sfruttare la tangenza con la retta impropria?
Non riesco a capire se la proprietà di essere parallela all'asse è utile o meno...
Poi è sempre possibile sfruttare la tangenza con la retta impropria?
"Ska":
sì ok.... ma se avessi avuto $y+3x+2=0$ che non è parallela all'asse?
Non riesco a capire se la proprietà di essere parallela all'asse è utile o meno...
Poi è sempre possibile sfruttare la tangenza con la retta impropria?
- L'esercizio ti chiede una parabola con l'asse parallelo ad una retta data.
Cosa c'entra la retta che hai scritto ora?
- Certo che è utile la proprietà di essere parallela!!!
- Una parabola è tangente alla retta impropria nel suo punto improprio.
"franced":
[quote="Ska"]sì ok.... ma se avessi avuto $y+3x+2=0$ che non è parallela all'asse?
Non riesco a capire se la proprietà di essere parallela all'asse è utile o meno...
Poi è sempre possibile sfruttare la tangenza con la retta impropria?
- L'esercizio ti chiede una parabola con l'asse parallelo ad una retta data.
Cosa c'entra la retta che hai scritto ora?
- Certo che è utile la proprietà di essere parallela!!!
- Una parabola è tangente alla retta impropria nel suo punto improprio.[/quote]
Scusa ma ancora non riesco a capire l'importanza del parallelismo all'asse.... provo a ragionare un po'
Un asse per definizione è un diametro che è ortogonale al proprio polo, in quanto diametro passa per il centro della conica, nel caso particolare della parabola quindi è un punto improprio o meglio il punto improprio.
Se l'asse ha equazione $ax_1 + bx_2 + cx_3 = 0$ il punto improprio è [(-b, a, 0)], e questo punto è in comune con tutte le parallele all'asse.... quindi il fatto che mi venga data una parallela all'asse è un modo per dirmi quale è il centro improprio della parabola dove so che essa è tangente.
È corretto?
In pratica se ti viene chiesta una parabola con asse parallelo alla retta $ax+by+c=0$,
significa che il suo punto improprio è $(-b;a;0)$.
Ma non puoi affermare che è un'informazione inutile!
Serve, eccome!
Un'altra osservazione: le parabole "liceali", quelle del tipo
$y = a x^2 + b x + c$
hanno tutte lo stesso punto improprio:
$P=(0,1,0)$ .
significa che il suo punto improprio è $(-b;a;0)$.
Ma non puoi affermare che è un'informazione inutile!
Serve, eccome!
Un'altra osservazione: le parabole "liceali", quelle del tipo
$y = a x^2 + b x + c$
hanno tutte lo stesso punto improprio:
$P=(0,1,0)$ .
"Ska":
Un esercizio chiede di determinare un'equazione di una parabola con asse parallelo alla retta $y+2x-1=0$ e passante per i punti $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(4,7)$.
Ti scrivo anche un altro metodo per risolvere questo esercizio.
Poiché l'asse della parabola è parallelo alla retta $y+2x=0$ (è quella che passa dall'origine),
la parabola può essere scritta nel modo seguente:
$(y+2x)^2 + ax + by + c = 0$
a questo punto ti trovi i parametri $a,b,c$ sostituendo le coordinate dei punti $A,B,C$.
Devo dire che preferisco la risoluzione con il fascio:
d'altra parte questo "nuovo" procedimento deriva dalla soluzione che sfrutta il fascio di coniche..
Ti ringrazio per l'aiuto
"Ska":
Ti ringrazio per l'aiuto
Prego!
"franced":
[quote="Ska"]
Un esercizio chiede di determinare un'equazione di una parabola con asse parallelo alla retta $y+2x-1=0$ e passante per i punti $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(4,7)$.
Ti scrivo anche un altro metodo per risolvere questo esercizio.
Poiché l'asse della parabola è parallelo alla retta $y+2x=0$ (è quella che passa dall'origine),
la parabola può essere scritta nel modo seguente:
$(y+2x)^2 + ax + by + c = 0$
a questo punto ti trovi i parametri $a,b,c$ sostituendo le coordinate dei punti $A,B,C$.
Devo dire che preferisco la risoluzione con il fascio:
d'altra parte questo "nuovo" procedimento deriva dalla soluzione che sfrutta il fascio di coniche..[/quote]
Volevo finire l'esercizio con il risultato:
imponendo il passaggio si trova
$a = -24$ , $b = -24$ , $c = 39$,
quindi la parabola risulta essere:
$(y + 2 x)^2- 24 x - 24 y + 39 = 0$
ovvero
$x^2 + 4 x y + 4 y^2 - 24 x - 24 y + 39 = 0$ .
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