Correttezza definizioni
Salve a tutti!
Mi sto preparando all'esame di algebra, ed il professore all'inizio di ogni sessione esordisce sempre con un test per filtrare i candidati all'esame scritto vero e proprio. L'inizio di questo test è sempre una domanda teorica.
Ho i vecchi compitini ma non ho le soluzioni, quindi vi chiedo se possibile di verificare le mie risposte e casomai farmi notare se ho omesso qualcosa (non so, un $\lòambda != 0$ o un $v in V$, roba del genere, purtroppo per il mio prof errori del genere fanno giocare l'esame)
Domanda: Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f : V rarr V$ un’applicazione lineare. $0 != v in V$ è autovettore per f se
Risposta: Esiste un $\lambda in K : f(v)=\lambda(v)$
D: Siano $H, K$ sottospazi dello spazio vettoriale $V$ . Cosa significa l’asserzione che la loro somma è diretta.
R: Che $dim(H+K) = dim(H) + dim(K)$ ovvero $dim(H nn K) = 0$ ovvero $H nn K = {0}$
D:Si scriva la formula di De Moivre per la potenza n-esima di un numero complesso $z = ρ(cos θ + i sen θ)$
R: $z^n=\rho^n(cos(n\theta)+isin(n\theta))
D: Lo spazio $V$ è somma diretta dei sottospazi $W$ ed $S$ se e solo se
R: $W$ ed $S$ sono in somma diretta tra loro (cioè $W nn S = {0})$ e $dim(W) + dim(S) = dim(V)$
D: Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $RR$. I vettori $v_1 , . . . , v_n$ sono UNA BASE di $V$ se
R:$x_1v_1+...+x_nv_n = 0 \rArr x_1=...=x_n=0$, e se $\forall v in V, EE \lambda_1,...,\lambda_n : \lambda_1x_1+...+\lambda_nx_n = v$
D: Sia $f : RR^n → RR^n$ un’applicazione lineare. Il polinomio caratteristico di $f$ è
R:Posta A la matrice associata ad f rispetto ad una base di $RR^n$, allora il polinomio caratteristico $P_f(x)=det(A-xI_n)$ dove $I_n$ è la matrice identità $nxn$
D: Si scriva l’enunciato del teorema di Rouch è-Capelli sul sistema lineare AX = B.
R:Il sistema ammette soluzioni se e solo se $rg(A) = rg(A|B)$, dove $(A|B)$ è la matrice A avente come ultima colonna aggiunta il vettore B
D: Si scriva la formula per la radice n-esima di un numero complesso $z = ρ(cos θ + i sen θ)$
R: $root[n](z) = root[n](\rho)(cos((\theta + 2k\pi)/n) + i sin((\theta + 2k\pi)/n))$
Ecco queste sono le domande cui ho risposto. So che sono pressocchè esatte, vorrei sapere solo se ho tralasciato qualcosa che magari completa la risposta.
Grazie a tutti in anticipo!
Mi sto preparando all'esame di algebra, ed il professore all'inizio di ogni sessione esordisce sempre con un test per filtrare i candidati all'esame scritto vero e proprio. L'inizio di questo test è sempre una domanda teorica.
Ho i vecchi compitini ma non ho le soluzioni, quindi vi chiedo se possibile di verificare le mie risposte e casomai farmi notare se ho omesso qualcosa (non so, un $\lòambda != 0$ o un $v in V$, roba del genere, purtroppo per il mio prof errori del genere fanno giocare l'esame)
Domanda: Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f : V rarr V$ un’applicazione lineare. $0 != v in V$ è autovettore per f se
Risposta: Esiste un $\lambda in K : f(v)=\lambda(v)$
D: Siano $H, K$ sottospazi dello spazio vettoriale $V$ . Cosa significa l’asserzione che la loro somma è diretta.
R: Che $dim(H+K) = dim(H) + dim(K)$ ovvero $dim(H nn K) = 0$ ovvero $H nn K = {0}$
D:Si scriva la formula di De Moivre per la potenza n-esima di un numero complesso $z = ρ(cos θ + i sen θ)$
R: $z^n=\rho^n(cos(n\theta)+isin(n\theta))
D: Lo spazio $V$ è somma diretta dei sottospazi $W$ ed $S$ se e solo se
R: $W$ ed $S$ sono in somma diretta tra loro (cioè $W nn S = {0})$ e $dim(W) + dim(S) = dim(V)$
D: Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $RR$. I vettori $v_1 , . . . , v_n$ sono UNA BASE di $V$ se
R:$x_1v_1+...+x_nv_n = 0 \rArr x_1=...=x_n=0$, e se $\forall v in V, EE \lambda_1,...,\lambda_n : \lambda_1x_1+...+\lambda_nx_n = v$
D: Sia $f : RR^n → RR^n$ un’applicazione lineare. Il polinomio caratteristico di $f$ è
R:Posta A la matrice associata ad f rispetto ad una base di $RR^n$, allora il polinomio caratteristico $P_f(x)=det(A-xI_n)$ dove $I_n$ è la matrice identità $nxn$
D: Si scriva l’enunciato del teorema di Rouch è-Capelli sul sistema lineare AX = B.
R:Il sistema ammette soluzioni se e solo se $rg(A) = rg(A|B)$, dove $(A|B)$ è la matrice A avente come ultima colonna aggiunta il vettore B
D: Si scriva la formula per la radice n-esima di un numero complesso $z = ρ(cos θ + i sen θ)$
R: $root[n](z) = root[n](\rho)(cos((\theta + 2k\pi)/n) + i sin((\theta + 2k\pi)/n))$
Ecco queste sono le domande cui ho risposto. So che sono pressocchè esatte, vorrei sapere solo se ho tralasciato qualcosa che magari completa la risposta.
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
1) Ok.
2) Ok.
3) Ok.
4) Io direi se e solo se $V=W+S$ e $W\cap S=\{0\}$.
5) Se sono linearmente indipendenti e generano (che poi è quello che tu hai espresso in simboli).
6) Ok.
7) Io lo scriverei un po' più nel dettaglio. Guarda come è enunciato sul Sernesi, Geometria 1.
8) Ricordati che $k=0,\ldots,n-1$ (le radici sono finite).
2) Ok.
3) Ok.
4) Io direi se e solo se $V=W+S$ e $W\cap S=\{0\}$.
5) Se sono linearmente indipendenti e generano (che poi è quello che tu hai espresso in simboli).
6) Ok.
7) Io lo scriverei un po' più nel dettaglio. Guarda come è enunciato sul Sernesi, Geometria 1.
8) Ricordati che $k=0,\ldots,n-1$ (le radici sono finite).
Per la seconda ci sono un paio di scuole di pensiero dalle mie parti... c'è chi dice che due sottospazi siano in somma diretta se la loro intersezione è composta solo dallo 0 (come hai giustamente scritto) e la somma delle loro dimensioni sia la dimensione dello spazio che li contiene... altri semplicemente affermano che la somma diretta è quella che dici tu (io sono più per quest'ultima affermazione=
Grazie ragazzi 
Allora più o meno non sto tanto male 
Ho un altro problema
In un test c'è scritto (è un Vero o Falso)
$\lambda$ è autovalore per $A rArr \lambda^2$ è autovalore per $A^"$
Io ho ragionato così
$A^2 = A\cdot A$ ovvero rappresenta $f \circ f$
Supponendo che $\lambda$ è autovalore, allora posto $V_\lambda$ l'autospazio relativo a $\lambda$, per ogni $v in V$ ho che $f(v)=\lambda v$
Ma $\lambda v in V_\lambda$ ancora, quindi è un autovettore relativo a $\lambda$
Perciò ho che, preso un $v in V_\lambda$, $f(f(v)) = f(\lambda v) = \lambda(\lambda v)$
Quindi $\lambda$ è ancora autovalore per $f \circ f$, ovvero è autovalore per $A^2$
E' corretta la cosa?
Allora più o meno non sto tanto male Ho un altro problema
In un test c'è scritto (è un Vero o Falso)
$\lambda$ è autovalore per $A rArr \lambda^2$ è autovalore per $A^"$
Io ho ragionato così
$A^2 = A\cdot A$ ovvero rappresenta $f \circ f$
Supponendo che $\lambda$ è autovalore, allora posto $V_\lambda$ l'autospazio relativo a $\lambda$, per ogni $v in V$ ho che $f(v)=\lambda v$
Ma $\lambda v in V_\lambda$ ancora, quindi è un autovettore relativo a $\lambda$
Perciò ho che, preso un $v in V_\lambda$, $f(f(v)) = f(\lambda v) = \lambda(\lambda v)$
Quindi $\lambda$ è ancora autovalore per $f \circ f$, ovvero è autovalore per $A^2$
E' corretta la cosa?
Se $x$ è un autovettore per $A$ con autovalore $\lambda$ abbiamo:
$A^2 x = A (A x) = A (\lambda x) = \lambda (A x) = \lambda (A x) = \lambda (\lambda x) = \lambda^2 x$ ,
quindi $x$ è autovettore per $A^2$ con autovalore $\lambda^2$ .
$A^2 x = A (A x) = A (\lambda x) = \lambda (A x) = \lambda (A x) = \lambda (\lambda x) = \lambda^2 x$ ,
quindi $x$ è autovettore per $A^2$ con autovalore $\lambda^2$ .
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