Coordinate funzione lineare

[enpires1]

Salve a tutti!
Sto facendo degli esercizi con un mio amico, e dovendo rispondere a questo quesito è nata una piccola diatriba.
Ho pensato di risolverlo nel metodò che esporrò di seguito, ma lui dice che non è matematicamente corretto: aspetto che qualcuno di voi fonga da giudice per la questione

Quesito: Sia V = $RR_2 [x]$, munito della base ${1, x, x^2 }$, e sia ${L_0 , L_1 , L_2 }$ la base duale di $V^**$ . Determinare in tale base le coordinate del funzionale lineare
$p(x) \rightarrow \int_0^1 p(x)dx$

Ho pensato che
Chiamando v un generico elemento di V, allora $v=av_1 +bv_2+cv_3 = a + bx + cx^2$
So inoltre che una generica applicazione lineare $M in V^**$ è $M=a\lambda_1+b\lambda_2+c\lambda_3$
Ma la mia applicazione lineare vale
$p(x)=\int_0^1 a dx + \int_0^1 bx dx +\int_0^1 cx^2 dx = a + b/2 + c/3 = a*1 + b*(1/2) + c*(1/3)$
Quindi, sfruttando il fatto che $M=a\lambda_1+b\lambda_2+c\lambda_3$ posso dire che $\lambda_1=1 , \lambda_2=1/2, \lambda_3=1/3$
E quindi le coordinate di M tramite la base duale espressa sono $(1,1/3,1/2)$

Lui dice che matematicamente non è un operazione corretta e verrebbe valutata come errore... chi ha ragione?

Grazie in anticipo

[pat871]

Dovresti specificare che un elemento $M \in V^**$ è una combinazione lineare degli elementi della base duale (che in questo caso sono le proiezioni sulle componenti $a,b,c$). Non puoi affermare che $M = \lambda_1 a + \lambda_2 b + \lambda_3 c$, poiché $M$ è un elemento del duale e quello che hai scritto è un numero. Sarebbe meglio scrivere $M = \lambda_1 L_0 + \lambda_2 L_1 + \lambda_3 L_2$ per essere più corretti.
E attenzione: tu hai scritto che

$p(x) = \int_0^1 (a + bx + cx^2) dx$

che è assolutamente sbagliato!
Dovresti per prima cosa assegnare al funzionale lineare dato una lettera per rappresentarlo come funzione, per esempio $f$. E quindi si ha

$f(a + bx + cx^2) = ... = a + 1/2b + 1/3c$

perciò, dato che la base duale di $1,x,x^2$ è data semplicemente dalla proiezione sulle coordinate $a,b,c$ risp. (cioè si ha che $L_0 : V \to RR, a + bx + cx^2 \mapsto a$, e così via...), si ha che

$f(p(x)) = L_0(p(x)) + 1/2L_1(p(x)) + 1/3L_2(p(x))$, e cioè

$f = L_0 + 1/2L_1 + 1/3L_2$

In questo modo dovrebbe essere più corretto.