Coordinate e base....
trovare nuove coordinate x',y',z' di (x y z) appartenente R^3 rispetto a "nuova" base f1(1 -1 1) f2(1 -2 2) f3(1 -2 1) e trovare matrice di T: R^3 -> R^3 rispetto a tale "nuova" base sapendo che la matrice di T rispetto a base canonica
$ ( ( 3 , -2 , 0 ),( -1 , 3 , -1 ),( -5,7,-1 )) $
praticamente ho costruito la nuova matrice....cosi:
$ ( (1,1,1),( -1,-2,-2 ),(1,2,1 )) $
è giusta?
poi creo' la matrice inversa
$ ( (2,1,0),( -1,0,1),( 0,-1,-1 )) $
e poi applico la formula P=B * T * B^-1
$ ( ( 3 , -2 , 0 ),( -1 , 3 , -1 ),( -5,7,-1 )) $* $ ( (1,1,1),( -1,-2,-2 ),(1,2,1 )) $*$ ( (2,1,0),( -1,0,1),( 0,-1,-1 )) $
giusto?
$ ( ( 3 , -2 , 0 ),( -1 , 3 , -1 ),( -5,7,-1 )) $
praticamente ho costruito la nuova matrice....cosi:
$ ( (1,1,1),( -1,-2,-2 ),(1,2,1 )) $
è giusta?
poi creo' la matrice inversa
$ ( (2,1,0),( -1,0,1),( 0,-1,-1 )) $
e poi applico la formula P=B * T * B^-1
$ ( ( 3 , -2 , 0 ),( -1 , 3 , -1 ),( -5,7,-1 )) $* $ ( (1,1,1),( -1,-2,-2 ),(1,2,1 )) $*$ ( (2,1,0),( -1,0,1),( 0,-1,-1 )) $
giusto?
Risposte
Come fa ad essere giusto se l'ultimo prodotto fornisce una matrice quadrata di ordine $ 3 $?
I passaggi sono corretti fino al calcolo della matrice inversa.
Se vuoi calcolare le componenti di un vettore rispetto ad una base assegnata, devi applicare la formula del cambio base:
$ [\mathbf{v}]_F = M_{C, F}(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^3})[\mathbf{v}]_C $
dove con $ C $ ho indicato la base canonica di $ \mathbb{R}^3 $, con $ F $ la base indicata dall'esercizio e con $ M_{C, F}(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^3}) $ la matrice di cambio base dalla base $ C $ alla base $ F $.
Quale delle matrici che hai calcolato corrisponde a $ M_{C, F}(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^3}) $?
N.B.: in questa risposta faccio riferimento esclusivamente alla prima richiesta, pertanto non stiamo in alcun modo considerando l'endomorfismo $ T $.
I passaggi sono corretti fino al calcolo della matrice inversa.
Se vuoi calcolare le componenti di un vettore rispetto ad una base assegnata, devi applicare la formula del cambio base:
$ [\mathbf{v}]_F = M_{C, F}(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^3})[\mathbf{v}]_C $
dove con $ C $ ho indicato la base canonica di $ \mathbb{R}^3 $, con $ F $ la base indicata dall'esercizio e con $ M_{C, F}(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^3}) $ la matrice di cambio base dalla base $ C $ alla base $ F $.
Quale delle matrici che hai calcolato corrisponde a $ M_{C, F}(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^3}) $?
N.B.: in questa risposta faccio riferimento esclusivamente alla prima richiesta, pertanto non stiamo in alcun modo considerando l'endomorfismo $ T $.
la matrice del testo moltiplicata la matrice da me calcolata(quella di cui ho anche l'inversa)... o no?
Ripeto: per rispondere alla prima domanda (che ti chiede delle componenti generiche) non occorre la matrice del testo (quella ti serve per rispondere alla seconda domanda).
le componenti generiche sono (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)...
Le componenti generiche sono, appunto, generiche.
La matrice di cambio base dalla base $ C $ alla base $ F $ è quella matrice che ti dà le componenti dei vettori di $ \mathbb{R}^3 $ rispetto a $ F $ a partire dalle componenti degli stessi vettori rispetto a $ C $.
Quale tra le matrici che hai calcolato svolge questo compito?
Una volta che l'hai individuata, sostituiscila nella formula del cambio base e hai ottenuto le componenti generiche.
La matrice di cambio base dalla base $ C $ alla base $ F $ è quella matrice che ti dà le componenti dei vettori di $ \mathbb{R}^3 $ rispetto a $ F $ a partire dalle componenti degli stessi vettori rispetto a $ C $.
Quale tra le matrici che hai calcolato svolge questo compito?
Una volta che l'hai individuata, sostituiscila nella formula del cambio base e hai ottenuto le componenti generiche.
se ho capito dovrei lavorare come ho fatto in quest'altro esercizio... trovare-matrice-rispetto-base-canonica-data-t97605.html
$ ( ( 8 , 3 , -2 ),( -5 ,0 , 4 ),( -17 , -4 , 8 ) ) $
che ne dici?
che ne dici?
Ti do un aiutino: applichiamo la definizione che ti ho dato nel mio ultimo post.
Sia $ C = \{\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \mathbf{c}_3\} = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} $ la base canonica di $ \mathbb{R}^3 $.
$ M_{C, F}(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^3}) = (([\mathbf{c}_1]_F,[\mathbf{c}_2]_F,[\mathbf{c}_3]_F)) $
Calcolarla in questo modo, però, risulta un po' scomodo.
Come si possono usare i conti che hai già fatto nel tuo primo post per accelerare questo calcolo?
Sia $ C = \{\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \mathbf{c}_3\} = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} $ la base canonica di $ \mathbb{R}^3 $.
$ M_{C, F}(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^3}) = (([\mathbf{c}_1]_F,[\mathbf{c}_2]_F,[\mathbf{c}_3]_F)) $
Calcolarla in questo modo, però, risulta un po' scomodo.
Come si possono usare i conti che hai già fatto nel tuo primo post per accelerare questo calcolo?
vediamo...allora le coordinate sono
2x'+y',-x'+z',-y'-z'
ho usato la matrice inversa....giusto?
2x'+y',-x'+z',-y'-z'
ho usato la matrice inversa....giusto?
Bravo. L'idea è giusta, ma stai confondendo le variabili (quelle con l'apice sono quelle rispetto a $ F $). La scrittura corretta è
$ ((x'), (y'), (z')) = ((2x+y),(-x+z), (-y-z)) $
Adesso dimmi come rispondi alla seconda richiesta.
$ ((x'), (y'), (z')) = ((2x+y),(-x+z), (-y-z)) $
Adesso dimmi come rispondi alla seconda richiesta.
intanto grazie....
alla seconda richiesta faccio nuove coordinate moltiplicato nuova base cioe
(2x+y)(1 -1 1)+(-x+z)(1 -2 2)+(-y-z)(1 -2 1)
giusto?
alla seconda richiesta faccio nuove coordinate moltiplicato nuova base cioe
(2x+y)(1 -1 1)+(-x+z)(1 -2 2)+(-y-z)(1 -2 1)
giusto?
Ragiona: lui ti chiede una matrice quadrata di ordine $ 3 $ e tu gli dai un vettore di $ \mathbb{R}^3 $? Direi proprio di no.
Adesso che devi usare la matrice del testo non la usi più?
Adesso che devi usare la matrice del testo non la usi più?
$ ( ( 3 , -2 , 0 ),( -1 , 3 , -1 ),( -5,7,-1 )) $* $ ( (1,1,1),( -1,-2,-2 ),(1,2,1 )) $*$ ( (2,1,0),( -1,0,1),( 0,-1,-1 )) $
che è quella che ho scritto prima....
che è quella che ho scritto prima....
Quel prodotto ti dà la prima matrice. Perché?
perchè una matrice per la sua inversa è una matrice unaria....
Esatto. E quindi non va bene, dato che la prima matrice è quella associata a $ T $ rispetto a $ C $.
Noi vogliamo la matrice associata a $ T $ rispetto a $ F $. Qual è la formula da utilizzare?
Noi vogliamo la matrice associata a $ T $ rispetto a $ F $. Qual è la formula da utilizzare?
$ ( ( 3 , -2 , 0 ),( -1 , 3 , -1 ),( -5,7,-1 )) $*$ ( (2,1,0),( -1,0,1),( 0,-1,-1 )) $
Credo che tu intendessi questo:
$ M_F(T) = M^{-1}M_C(T)M $
dove $ M $ è un'opportuna matrice da identificare.
A te l'onore.
$ M_F(T) = M^{-1}M_C(T)M $
dove $ M $ è un'opportuna matrice da identificare.
A te l'onore.
ma come la identifico?
potrei fare Mf(T) diviso Mc(T)=M^-1 M?
oppure
trovo gli autovalori
trovo le basi degli autospazi
scrivo la matrice M e la sua inversa M^-1
matrice d =M^-1AM
potrei fare Mf(T) diviso Mc(T)=M^-1 M?
oppure
trovo gli autovalori
trovo le basi degli autospazi
scrivo la matrice M e la sua inversa M^-1
matrice d =M^-1AM
La matrice $ M $ tu la conosci benissimo. Devi solo dirmi chi è.
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