Cono tangente a due sfere
salve! vi pongo questo quesito che mi sta mettendo in difficolta:
determinare l'equazioni del cono tangente alle sfere S1 $x^2+ (y-2)^2+z^2=4$ e S2 $ x^2+(y+4)^2+z^2-16=0$
io mi sono fatto un disegnino delle sfere tanto per avere un'idea, e ho pensato che l'asse del cono dovesse passare per entrambi i centri quindi dovesse essere $\{x=0, y=t, z=0}$, ora se trovo anche la generatrice posso farla ruotare sull'asse e trovare il cono. la generatrice dovrebbe essere una retta tangente sia a S1 che a S2 e io pensavo per rendere tutto piu semplice di prendere due rette appartenenti al piano x=0. Qui mi sono bloccato e non riesco a trovare la retta tangente a entrambe le sfere, come posso fare?
determinare l'equazioni del cono tangente alle sfere S1 $x^2+ (y-2)^2+z^2=4$ e S2 $ x^2+(y+4)^2+z^2-16=0$
io mi sono fatto un disegnino delle sfere tanto per avere un'idea, e ho pensato che l'asse del cono dovesse passare per entrambi i centri quindi dovesse essere $\{x=0, y=t, z=0}$, ora se trovo anche la generatrice posso farla ruotare sull'asse e trovare il cono. la generatrice dovrebbe essere una retta tangente sia a S1 che a S2 e io pensavo per rendere tutto piu semplice di prendere due rette appartenenti al piano x=0. Qui mi sono bloccato e non riesco a trovare la retta tangente a entrambe le sfere, come posso fare?
Risposte
Intersecando con il piano \(x=0\) otteniamo la seguente figura con \(V\) vertice del cono.
Ragionando con i triangoli simili si ottiene con calcoli elementari l'angolo \( \alpha\) formato dalle generatrici del cono con l'asse:\(cos(\alpha) =\frac{2}{3} \sqrt{2}\) e il vertice \( V=(0,6,0)\)
Se \( P=(x,y,z)\) è un punto del cono il prodotto scalare tra il vettore \( \overrightarrow{PV}\) e il versore dell'asse \( y\) deve essere uguale a \( \frac{2}{3} \sqrt{2}\) e quindi l'equazione:
\( \frac{y-6}{\sqrt{x^2+(y-6)^2+z^2}}=\frac{2}{3} \sqrt{2}\)
da cui l'equazione del cono:
\( 8x^2-(y-2)^2+8z^2=0\).
Salvo errori di calcolo.
Ragionando con i triangoli simili si ottiene con calcoli elementari l'angolo \( \alpha\) formato dalle generatrici del cono con l'asse:\(cos(\alpha) =\frac{2}{3} \sqrt{2}\) e il vertice \( V=(0,6,0)\)
Se \( P=(x,y,z)\) è un punto del cono il prodotto scalare tra il vettore \( \overrightarrow{PV}\) e il versore dell'asse \( y\) deve essere uguale a \( \frac{2}{3} \sqrt{2}\) e quindi l'equazione:
\( \frac{y-6}{\sqrt{x^2+(y-6)^2+z^2}}=\frac{2}{3} \sqrt{2}\)
da cui l'equazione del cono:
\( 8x^2-(y-2)^2+8z^2=0\).
Salvo errori di calcolo.
scusa se te lo chiedo ma come si arriva a trovare l'angolo? visto che te hai la lunghezza dei due raggi e la distanza fra i due punti O1 e O2 se non sbaglio non dovresti avere altre informazioni.
I triangoloi \( BO_2V\) e \(O_1AV \) sono simili, \( O_1V=d\) quindi:
\(O_2B:O_1A=O_2V:O_1V \)
\( 4:2=(6+d):d\)
\( d=6\)
\(O_2B:O_1A=O_2V:O_1V \)
\( 4:2=(6+d):d\)
\( d=6\)
ok capito! pero allora il vertice sara in $( 0, 8, 0) visto che a $d$ devi aggiungere la coordinata di $O1$ che è 2 appunto.. ti ringrazio per la pazienza!
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