Cono circoscritto a una sfera
Salve a tutti,
vi chiedo un aiuto a risolvere questo esercizio: "Sia data la sfera:
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x - y + 2 = 0$.
Determinare il cono con vertice nell'origine e circoscritto alla sfera."
(L'equazione del cono richiesto è $x^2 - 7y^2 - 8z^2 + 6xy = 0$.)
Non pretendo di conoscere tutti i calcoli che vanno fatti per arrivare alla soluzione (il che sarebbe l'ideale!); mi basta sapere i passi del ragionamento da seguire.
Grazie anticipatamente. A presto.
[mod="Fioravante Patrone"]Ciao e benvenuto.
Ho "editato" le formule per migliorarne la leggibilità: meglio mettere il simbolo di dollaro solo a inizio e a fine formula.[/mod]
vi chiedo un aiuto a risolvere questo esercizio: "Sia data la sfera:
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x - y + 2 = 0$.
Determinare il cono con vertice nell'origine e circoscritto alla sfera."
(L'equazione del cono richiesto è $x^2 - 7y^2 - 8z^2 + 6xy = 0$.)
Non pretendo di conoscere tutti i calcoli che vanno fatti per arrivare alla soluzione (il che sarebbe l'ideale!); mi basta sapere i passi del ragionamento da seguire.
Grazie anticipatamente. A presto.
[mod="Fioravante Patrone"]Ciao e benvenuto.
Ho "editato" le formule per migliorarne la leggibilità: meglio mettere il simbolo di dollaro solo a inizio e a fine formula.[/mod]
Risposte
"spacetime":
Salve a tutti,
vi chiedo un aiuto a risolvere questo esercizio: "Sia data la sfera:
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x - y + 2 = 0$.
Determinare il cono con vertice nell'origine e circoscritto alla sfera."
Ci sono più metodi per risolvere l'esercizio.
Uno di questi prevede di scrivere l'equazione parametrica di una
generica retta passante dall'origine e di imporre la tangenza alla sfera..
poi cerca di continuare da solo.
Allora, il suggerimento di "franced" è corretto, ma vediamo di instradarti un po'....
Si inizia scrivendo l'equazione della generica retta $r$ passante per il punto $V$ (lo chiamo $V$ perchè sarà il vertice del cono che andremo a costruire)..quindi:
$\{(x=\alpha+tl), (y=\beta+tm), (z=\gamma+tn):}$ con $t\inRR$.
Intersecando quest'ultima con l'equazione della sfera, si ottiene un'equazione di secondo grado nel parametro $t$...imponendo che il discriminante di tale equazione si annulli ($\Delta=0$, questa condizione è necessaria per la tangenza) avremo due intersezioni coincidenti e questa non sarà altro che un'equazione di secondo grado in $l,m,n$...poichè:
$(x-\alpha)/l=(y-\beta)/m=(z-\gamma)/n$
si andrà a sostituire nell'equazione ottenuta al posto di $l,m,n$ rispettivamente $x-\alpha, y-\beta$ e $z-\gamma$...questa sostituzione è sempre ammissibile in quanto $\Delta=0$ è omogenea.
L'equazione così ottenuta è quella del cono circoscritto (o tangente) alla sfera....ora applica questo al tuo esercizio, ciao!
Si inizia scrivendo l'equazione della generica retta $r$ passante per il punto $V$ (lo chiamo $V$ perchè sarà il vertice del cono che andremo a costruire)..quindi:
$\{(x=\alpha+tl), (y=\beta+tm), (z=\gamma+tn):}$ con $t\inRR$.
Intersecando quest'ultima con l'equazione della sfera, si ottiene un'equazione di secondo grado nel parametro $t$...imponendo che il discriminante di tale equazione si annulli ($\Delta=0$, questa condizione è necessaria per la tangenza) avremo due intersezioni coincidenti e questa non sarà altro che un'equazione di secondo grado in $l,m,n$...poichè:
$(x-\alpha)/l=(y-\beta)/m=(z-\gamma)/n$
si andrà a sostituire nell'equazione ottenuta al posto di $l,m,n$ rispettivamente $x-\alpha, y-\beta$ e $z-\gamma$...questa sostituzione è sempre ammissibile in quanto $\Delta=0$ è omogenea.
L'equazione così ottenuta è quella del cono circoscritto (o tangente) alla sfera....ora applica questo al tuo esercizio, ciao!
Ti ringrazio per aver risposto.
E' proprio il procedimento che seguivo io ma mi blocco da un certo punto in poi. Nel particolare:
utilizzando la formula della stella di rette passante per l'origine, costruisco il sistema
$\{(x/a - z/c = 0),(y/b - z/c = 0):}$
Una volta stabilito che la sfera ha centro C= ($3/2$,$1/2$,0) e raggio R=$root(2)($1/2$)$ (radice quadrata di un mezzo.Non sono riuscito a farla meglio) impongo che il centro deve avere distanza dalla retta pari a R.
E qui i primi dubbi in quanto per imporre la distanza centro-retta uguale a R, utilizzo la formula che mi da la distanza tra un punto e un piano, ossia considero i due piani del sistema uno alla volta e uguaglio la distanza tra il centro C e i piani in questione uguale a R. Per la prima equazione del sistema va tutto bene, infatti ottengo che
a = +- c*$root(2)($7/2$)$ (più o meno c che moltiplica radice quadrata di sette mezzi)
Se seguo lo stesso ragionamento per la seconda equazione del sistema ottengo invece
2$b^2$ = - $c^2$
che è impossibile in $RR$
Come ne esco? Dove sbaglio?
E' proprio il procedimento che seguivo io ma mi blocco da un certo punto in poi. Nel particolare:
utilizzando la formula della stella di rette passante per l'origine, costruisco il sistema
$\{(x/a - z/c = 0),(y/b - z/c = 0):}$
Una volta stabilito che la sfera ha centro C= ($3/2$,$1/2$,0) e raggio R=$root(2)($1/2$)$ (radice quadrata di un mezzo.Non sono riuscito a farla meglio) impongo che il centro deve avere distanza dalla retta pari a R.
E qui i primi dubbi in quanto per imporre la distanza centro-retta uguale a R, utilizzo la formula che mi da la distanza tra un punto e un piano, ossia considero i due piani del sistema uno alla volta e uguaglio la distanza tra il centro C e i piani in questione uguale a R. Per la prima equazione del sistema va tutto bene, infatti ottengo che
a = +- c*$root(2)($7/2$)$ (più o meno c che moltiplica radice quadrata di sette mezzi)
Se seguo lo stesso ragionamento per la seconda equazione del sistema ottengo invece
2$b^2$ = - $c^2$
che è impossibile in $RR$
Come ne esco? Dove sbaglio?
"Alexp":
Allora, il suggerimento di "franced" è corretto, ma vediamo di instradarti un po'....
Si inizia scrivendo l'equazione della generica retta $r$ passante per il punto $V$ (lo chiamo $V$ perchè sarà il vertice del cono che andremo a costruire)..quindi:
$\{(x=\alpha+tl), (y=\beta+tm), (z=\gamma+tn):}$ con $t\inRR$.
In questo caso il vertice è l'origine, quindi $\alpha=\beta=\gamma=0$.
Ho compreso solo adesso l'errore che facevo. Grazie mille
Prego!
Facendo quattro conti, l'equazione del cono dovrebbe essere $x^2-7y^2-8z^2+6xy=0$
"Alexp":
Facendo quattro conti, l'equazione del cono dovrebbe essere $x^2-7y^2-8z^2+6xy=0$
Che coincide con il risultato dato all'inizio.
Ho controllato anche con Maple: torna.
"franced":
Che coincide con il risultato dato all'inizio.
Hai ragione, mi ero completamente dimenticato che all'inizio "spacetime" aveva postato anche il risultato.....
Scusami per l'ennesima volta. Il procedimento è senz'altro esatto e porta al risultato cercato, potresti tuttavia chiarirmi alcuni dubbi che ho? Cerco di spiegarmi nel modo più chiaro possibile il mio problema:
Io so che il discriminante nullo è la condizione grazie alla quale retta e sfera abbiano un unico punto in comune contato due volte; eseguendo questo passaggio è sicuramente vero che il discriminante è una funzione omogenea, pertanto rappresenta un cono con vertice nell'origine; inoltre data una funzione f(l,m,n)=0 se omogenea, posso sostituire l,m,n con x,y,z che si ottengono dalle prime perché moltiplicate per $1/t$ che appartiene a $RR$.(come imposto dal sistema della retta parametrica passante per O).
Dopo aver fatto tutto questo ottengo il risultato cercato; ma perché proprio quel cono è quello tangente alla sfera? è perché ci sostituisco i valori delle coordinate x-α,y-β e z-γ?
Mi rendo conto della stupidità di queste richieste, ringrazio pertanto anche per la pazienza che ci mettete a rispondere.
Io so che il discriminante nullo è la condizione grazie alla quale retta e sfera abbiano un unico punto in comune contato due volte; eseguendo questo passaggio è sicuramente vero che il discriminante è una funzione omogenea, pertanto rappresenta un cono con vertice nell'origine; inoltre data una funzione f(l,m,n)=0 se omogenea, posso sostituire l,m,n con x,y,z che si ottengono dalle prime perché moltiplicate per $1/t$ che appartiene a $RR$.(come imposto dal sistema della retta parametrica passante per O).
Dopo aver fatto tutto questo ottengo il risultato cercato; ma perché proprio quel cono è quello tangente alla sfera? è perché ci sostituisco i valori delle coordinate x-α,y-β e z-γ?
Mi rendo conto della stupidità di queste richieste, ringrazio pertanto anche per la pazienza che ci mettete a rispondere.
Il cono è una superficie rigata (ossia composta da rette le quali uniscono ogni punto di una curva chiusa, col punto vertice), dato che nella "costruzione" abbiamo vincolato che le rette passanti per $V$ che ci interessano sono quelle tangenti alla sfera, in automatico il cono che vanno a generare sarà tangente alla sfera...qui il termine "tangente" è un po' improprio nel senso che il cono non toccherà la sfera solo in un punto, ma essendo circoscritto alla sfera, esisteranno tanti punti da comporre una circonferenza sulla sfera, in cui per ogni punto di questa circonferenza una retta generatrice del cono sarà tangente.
Si sostituiscono i parametri $l,m,n$ con $x-\alpha$, $y-\beta$ e $z-\gamma$ per ottenere l'equazione cartesiana del cono, ossia nelle coordinate $x,y$ e $z$.
Spero di essere stato chiaro e di essere riuscito a farti capire....Ciao
Si sostituiscono i parametri $l,m,n$ con $x-\alpha$, $y-\beta$ e $z-\gamma$ per ottenere l'equazione cartesiana del cono, ossia nelle coordinate $x,y$ e $z$.
Spero di essere stato chiaro e di essere riuscito a farti capire....Ciao
Il mio dubbio era proprio sull' "automatico": la sostituzione che noi facciamo forse sottintendeva un passaggio che è del tutto equivalente alla fine. Una volta imposto il discriminante uguale a zero, ricavo uno dei tre parametri in dipendenza degli altri due (ad esempio "n") e lo vado a sostituire nell'equazione parametrica della retta generica passante per O. Ciò che ottengo è proprio l'equazione da trovare e per dire con certezza che rappresenta un cono deve essere una funzione omogenea. Infatti data l'equazione cartesiana di una superficie S (f(x,y,z)=0) si stabilisce se essa è un cono solo dopo aver provato che la funzione sia omogenea di un certo grado k. E se Δ=0 lo è, lo sarà anche l'equazione che si ottiene sostituendo nella retta parametrica, che essendo a sua volta omogenea per la proprietà simmetrica permette di sostituire direttamente ai parametri direttori l,m,n le espressioni x-α,y-β e z-γ.
Ovviamente questo intervento non vuole essere una sorta di precisazione o correzione a quello che hai precedentemente detto in merito. Ci mancherebbe, anzi complimenti per la preparazione. E' più un "monologo" per autoconvincermi di aver capito.
Almeno spero! 
Saluti.
Ovviamente questo intervento non vuole essere una sorta di precisazione o correzione a quello che hai precedentemente detto in merito. Ci mancherebbe, anzi complimenti per la preparazione. E' più un "monologo" per autoconvincermi di aver capito.
Almeno spero! Saluti.
In pratica se ci pensi non cambia nulla dalla solita costruzione di un cono....infatti la costruzione di un cono presuppone la conoscenza di una curva detta "direttrice" e di un punto detto "vertice" (che ovviamente non deve appartenere alla curva "direttrice") e il cono viene composto da tutte le rette che partono dalla "direttrice" e vanno al vertice....nel nostro caso, ossia la costruzione di un cono tangente ad una sfera, la curva "direttrice" sarebbe la curva che si viene a formare (ed essa apparterrà alla sfera) unendo tutti i punti di tangenza tra le rette e la sfera, quindi l'equazione delle rette entra in gioco nel momento in cui si va a cercare l'intersezione con la sfera e il fatto che si cerchi il discriminante nullo, fa si che si delinei la curva "direttrice" appartenente alla sfera....quindi una volta impostato il discriminante nullo, cosa abbiamo realmente in mano?? abbiamo un'equazione in cui ogni punto della curva "direttrice" si unisce con il punto "vertice", l'unica cosa che manca è che questa equazione non è espressa in termini cartesiani, facendo la semplice sostituzione otteniamo l'equazione cartesiana e il gioco è fatto!
Grazie per i complimenti, sei troppo buono!
"spacetime":
Ovviamente questo intervento non vuole essere una sorta di precisazione o correzione a quello che hai precedentemente detto in merito. Ci mancherebbe, anzi complimenti per la preparazione. E' più un "monologo" per autoconvincermi di aver capito.
Grazie per i complimenti, sei troppo buono!
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