Connessione invariante per omotopia?
Salve.
La connessione è una proprietà invariante per omotopia, oppure esistono controesempi di questo fatto?
La connessione è una proprietà invariante per omotopia, oppure esistono controesempi di questo fatto?
Risposte
Penso tu intenda la nozione di connessione topologica, non la nozione di connessione (affine) in geometria differenziale.
Dunque, la risposta e' che dipende. Il numero di componenti connesse per archi di uno spazio sufficientemente decente e' un invariante di omotopia, nel senso che quando $X$ e' omotopicamente equivalente a $Y$, allora $\pi_0(X)$ e $\pi_0(Y)$ sono insiemi della stessa cardinalita'.
Se non sei disposto a limitarti a classi di spazi che soddisfano certe ragionevoli ipotesi, come ad esempio gli spazi compattamente generati e weakly hausdorff, oppure i CW complessi non troppo patologici, ti si scoperchia un vaso di Pandora che ha per nome "teoria della forma di Borsuk-Mardeisc-Segal". Non ho mai pensato se la connessione sia un'altra di queste proprieta', ma la semplice connessione, per spazi sufficientemente balzani, e' una proprieta' che l'omotopia classica non riesce a catturare
Dunque, la risposta e' che dipende. Il numero di componenti connesse per archi di uno spazio sufficientemente decente e' un invariante di omotopia, nel senso che quando $X$ e' omotopicamente equivalente a $Y$, allora $\pi_0(X)$ e $\pi_0(Y)$ sono insiemi della stessa cardinalita'.
Se non sei disposto a limitarti a classi di spazi che soddisfano certe ragionevoli ipotesi, come ad esempio gli spazi compattamente generati e weakly hausdorff, oppure i CW complessi non troppo patologici, ti si scoperchia un vaso di Pandora che ha per nome "teoria della forma di Borsuk-Mardeisc-Segal". Non ho mai pensato se la connessione sia un'altra di queste proprieta', ma la semplice connessione, per spazi sufficientemente balzani, e' una proprieta' che l'omotopia classica non riesce a catturare
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