Coniche: classificazione e proiettività
Salve a tutti. Ho bisogno di un confronto e di un aiuto riguardo le coniche in $P^2(KK)$. Riporto la traccia:
Sono date le seguenti coniche:
$C_1 : X_0^2-2X_1^2-X_0X_1+X_1X_2+X_0X_2=0$ e $C_2 : X_0^2+2X_1^2+X_2^2-2X_0X_1-2X_1X_2=0$
1.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(RR)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
2.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(CC)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
3.Determinare una conica di $P^2(RR)$ proiettivamente equivalente a $C_1$ e passante per i punti $P_1=[1,0,0]$,$P_2=[0,0,1]$ e $P_3=[1,-1,1]$.
Per quanto riguarda il primo punto ho solo bisogno di una conferma... Ecco la mia risoluzione:
1. Considero le due matrici $A_1$ e $A_2$ rispettivamente associate alle coniche $C_1$ e $C_2$
$A_1=((1,-1/2,1/2),(-1/2,-2,1/2),(1/2,1/2,0))$
$A_2=((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1/2,1))$
Riducendo entrambe le matrici per righe ottengo il rango:
$rg(A_1)=2$
$rg(A_2)=2$
A questo punto posso affermare che si tratta di due coniche degeneri di equazione canonica
$C_0: X_0^2 +- X_1^2=0$
Se dimostro che hanno stessa forma canonica allora sono proiettivamente equivalenti, altrimenti non lo sono.
Domanda:Come faccio a decidere se il segno deve essere più o meno?
Per il secondo punto, dovrebbe essere più facile. Infatti, sfruttando i calcoli fatti nel primo punto in cui ho trovato che $rg(A_1)=2$ e $rg(A_2)=2$, deduco che entrambe le coniche hanno forma canonica
$C_0: X_0^2+X_1^2=0$
rappresentano due rette e sono proiettivamente equivalenti.
Il terzo punto invece è completamente oscuro... In linea generale suppongo di dover scrivere una generica equazione di una conica e imporre il passaggio per i 3 punti, solo che questa conica deve essere proiettivamente equivalente a $C_1$ e non so come ricavarla...
Ringrazio tutti i coraggiosi che si cimenteranno nell'aiutarmi a risolvere questa traccia!
Sono date le seguenti coniche:
$C_1 : X_0^2-2X_1^2-X_0X_1+X_1X_2+X_0X_2=0$ e $C_2 : X_0^2+2X_1^2+X_2^2-2X_0X_1-2X_1X_2=0$
1.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(RR)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
2.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(CC)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
3.Determinare una conica di $P^2(RR)$ proiettivamente equivalente a $C_1$ e passante per i punti $P_1=[1,0,0]$,$P_2=[0,0,1]$ e $P_3=[1,-1,1]$.
Per quanto riguarda il primo punto ho solo bisogno di una conferma... Ecco la mia risoluzione:
1. Considero le due matrici $A_1$ e $A_2$ rispettivamente associate alle coniche $C_1$ e $C_2$
$A_1=((1,-1/2,1/2),(-1/2,-2,1/2),(1/2,1/2,0))$
$A_2=((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1/2,1))$
Riducendo entrambe le matrici per righe ottengo il rango:
$rg(A_1)=2$
$rg(A_2)=2$
A questo punto posso affermare che si tratta di due coniche degeneri di equazione canonica
$C_0: X_0^2 +- X_1^2=0$
Se dimostro che hanno stessa forma canonica allora sono proiettivamente equivalenti, altrimenti non lo sono.
Domanda:Come faccio a decidere se il segno deve essere più o meno?
Per il secondo punto, dovrebbe essere più facile. Infatti, sfruttando i calcoli fatti nel primo punto in cui ho trovato che $rg(A_1)=2$ e $rg(A_2)=2$, deduco che entrambe le coniche hanno forma canonica
$C_0: X_0^2+X_1^2=0$
rappresentano due rette e sono proiettivamente equivalenti.
Il terzo punto invece è completamente oscuro... In linea generale suppongo di dover scrivere una generica equazione di una conica e imporre il passaggio per i 3 punti, solo che questa conica deve essere proiettivamente equivalente a $C_1$ e non so come ricavarla...
Ringrazio tutti i coraggiosi che si cimenteranno nell'aiutarmi a risolvere questa traccia!
Risposte
La matrice \(A_2\) è sbagliata... non è simmetrica!
P.S.: ti ho inviato un messaggio privato.
P.S.: ti ho inviato un messaggio privato.
Ho sbagliato a ricopiarla in effetti... La riporto corretta:
$A_2=((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1,1))$.
Qualche suggerimento per la soluzione?
$A_2=((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1,1))$.
Qualche suggerimento per la soluzione?
Se vuoi procedere per via computazionale: studia gli autovalori di quelle matrici; se vuoi procedere per via geometrica: quali sono le coniche riducibili nel piano proiettivo reale?
Questi ragionamenti puoi adattarli al caso del piano proiettivo complesso!
Questi ragionamenti puoi adattarli al caso del piano proiettivo complesso!
Credo che il mio professore preferisca una risoluzione per via geometrica. Se "coniche irriducibili" vuol dire "forme canoniche" in $RR$ allora sono cinque:
1-$C_0: X_0^2+X_1^2+X_2^2=0$ se $rg(A)=3$ e $A$ è definita positiva;
2-$C_0: X_0^2+X_1^2-X_2^2=0$ se $rg(A)=3$ e $A$ è definita negativa;
3-$C_0: X_0^2+X_1^2=0$ se $rg(A)=2$ e accade qualcos'altro che non so;
4-$C_0: X_0^2-X_1^2=0$ se $rg(A)=2$ e accade qualcos'altro che non so;
5-$C_0: X_0^2=0$ se $rg(A)=1$;
Ho ricavato il $rg(A_1)$ e $rg(A_2)$ trovando che sono entrambi uguali a 2 ma non so come classificarle meglio...
1-$C_0: X_0^2+X_1^2+X_2^2=0$ se $rg(A)=3$ e $A$ è definita positiva;
2-$C_0: X_0^2+X_1^2-X_2^2=0$ se $rg(A)=3$ e $A$ è definita negativa;
3-$C_0: X_0^2+X_1^2=0$ se $rg(A)=2$ e accade qualcos'altro che non so;
4-$C_0: X_0^2-X_1^2=0$ se $rg(A)=2$ e accade qualcos'altro che non so;
5-$C_0: X_0^2=0$ se $rg(A)=1$;
Ho ricavato il $rg(A_1)$ e $rg(A_2)$ trovando che sono entrambi uguali a 2 ma non so come classificarle meglio...
Se tu dovessi studiare l'insieme dei punti in cui \(\displaystyle x^2 + y^2 = 0 \) a che insieme faresti riferimento
E nel caso di \(\displaystyle x^2 - y^2 = 0 \)
E se cercassi di trovare le soluzioni nel campo complesso:
Quindi quale pensi possa essere il discriminante tra i due casi?
E nel caso di \(\displaystyle x^2 - y^2 = 0 \)
E se cercassi di trovare le soluzioni nel campo complesso:
Quindi quale pensi possa essere il discriminante tra i due casi?
Quindi scelgo il segno a seconda delle soluzioni di una conica... Cioè se ad esempio $C_1$ ammette come soluzione solo il punto $[0,0,1]$ allora scelgo il più, altrimenti il meno. Ho capito bene? Se sì, come faccio a dire che $C_1$ ammette altri punti come soluzione oppure no? Negli appunti confusionari che mi ritrovo mi sembra di capire che si utilizzino le derivate parziali ma non capisco bene come e perché...
Altro dubbio: se invece dovessi considerare gli autovalori, il polinomio caratteristico va calcolato sulla matrice 3x3 oppure sulla sottomatrice 2x2 come si fa nella classificazione delle coniche affini?
Un commento sulla diagonalizzazione.
Nel caso proiettivo il minore \(\displaystyle 2\times 2 \) in alto a sinistra non ha maggiore importanza degli altri. Quindi la diagonalizzazione la devi fare di tutta la matrice.
Un commento su caso degenere.
Per riconoscere in quale caso ti trovi il modo più semplice consiste nel fattorizzare il polinomio di secondo grado nelle sue componenti. Se la scomposizione è nei complessi allora ti trovi nel caso ‘+’, altrimenti nel caso ‘-’. Immagino che comunque si possa capire dal determinante di un minore con determinante non nullo. Ci devo ragionare.
Un commento sulla classificazione.
È simpatico notare che l’insieme vuoto è una conica ( \(\displaystyle x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 = 0 \) ).
Ma ha certamente dei vantaggi supporre che sia così...
Nel caso proiettivo il minore \(\displaystyle 2\times 2 \) in alto a sinistra non ha maggiore importanza degli altri. Quindi la diagonalizzazione la devi fare di tutta la matrice.
Un commento su caso degenere.
Per riconoscere in quale caso ti trovi il modo più semplice consiste nel fattorizzare il polinomio di secondo grado nelle sue componenti. Se la scomposizione è nei complessi allora ti trovi nel caso ‘+’, altrimenti nel caso ‘-’. Immagino che comunque si possa capire dal determinante di un minore con determinante non nullo. Ci devo ragionare.
Un commento sulla classificazione.
È simpatico notare che l’insieme vuoto è una conica ( \(\displaystyle x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 = 0 \) ).
Ma ha certamente dei vantaggi supporre che sia così...
"vict85":
Un commento su caso degenere.
Per riconoscere in quale caso ti trovi il modo più semplice consiste nel fattorizzare il polinomio di secondo grado nelle sue componenti. Se la scomposizione è nei complessi allora ti trovi nel caso ‘+’, altrimenti nel caso ‘-’. Immagino che comunque si possa capire dal determinante di un minore con determinante non nullo. Ci devo ragionare.
Provo a vedere se ho capito prendendo due esempi sempre dalle tracce...
Ad esempio le due coniche $C_1: x_0x_1+x_1x_2=0$ e $C_2: x_1^2+x_2^2+x_1x_2=0$ si decompongono rispettivamente nelle componenti $C_1:(x_1)*(x_0+x_2)=0$ e $C_2:(1/2x_1+x_2)*(x_1+1/2x_2)=0$. Mi sembra che entrambi si scompongano in $RR$ quindi posso affarmare che entrambe hanno forma canonica $C_0: x_0^2-x_1^2=0$.
Invece la conica $C_3:x_0^2+x_1^2+2x_0x_1=0$ si decompone in $C_3:(x_0+x_1)^2=0$ e quindi ammette come forma canonica$C_0':x_0^2+x_1^2=0$.
Ho capito bene?
"Mate2013":
Invece la conica $C_3:x_0^2+x_1^2+2x_0x_1=0$ si decompone in $C_3:(x_0+x_1)^2=0$ e quindi ammette come forma canonica$C_0':x_0^2+x_1^2=0$.
Ho capito bene?
Questa è doppiamente degenere: è la retta \(\displaystyle x_0+x_1=0 \) contata due volte. Quindi è del tipo \(\displaystyle X_0^2=0 \)
Giusto, non avevo calcolato il rango. Ma le derivate parziali che ruolo hanno in tutto ciò? Sugli appunti c'è scritto:
Sia $C$ una conica di rango 2. Se le derivate parziali di $C$ si annullano in un punto diverso da $[0,0,0]$ allora la forma canonica è $C_0: x_0^2+x_^2=0$.
Mentre su appunti in rete ho letto che il punto che annulla le derivate parziali è un qualsiasi punto singolare (che tra l'altro sembra che il prof non l'abbia mai menzionato).
C'è nesso tra le cose? Se si, qual è?
Sia $C$ una conica di rango 2. Se le derivate parziali di $C$ si annullano in un punto diverso da $[0,0,0]$ allora la forma canonica è $C_0: x_0^2+x_^2=0$.
Mentre su appunti in rete ho letto che il punto che annulla le derivate parziali è un qualsiasi punto singolare (che tra l'altro sembra che il prof non l'abbia mai menzionato).
C'è nesso tra le cose? Se si, qual è?
L’annullarsi delle derivate parziali indicano i punti singolari. Non so esattamente a cosa si riferisca il professore, ma è possibile che funzioni.
Ricapitolando:
-in $CC$ la forma canonica è determinata dal rango;
-in $RR$ la forma canonica è determinata dal rango se $rg=1$, dal rango e dalla matrice (definita positiva o negativa) se $rg=3$, e se il rango è due? Qul è la regola generale al di là dei ragionamenti?
-in $CC$ la forma canonica è determinata dal rango;
-in $RR$ la forma canonica è determinata dal rango se $rg=1$, dal rango e dalla matrice (definita positiva o negativa) se $rg=3$, e se il rango è due? Qul è la regola generale al di là dei ragionamenti?
Quesito N° 3
La conica $C_1$ si spezza nelle due rette (reali) distinte :
\(\displaystyle 2X_o=(X_1-X_2) \pm (3X_1-X_2) \)
Una conica che passi per i punti ( non allineati) $P_1,P_2,P_3$ e che si spezzi in due rette (reali) non sovrapposte ( e quindi proiettivamente equivalente a $C_1 $ ) secondo me può essere la conica che si spezza nelle rette $P_1P_2$ e $P_1P_3$
Facendo i relativi calcoli si trova che tale conica ha equazione :
$X_1(X_1+X_2)=0$
La conica in questione non è unica ( e del resto la consegna chiede di trovare "una conica" e non "la conica"). Per esempio si può considerare anche la conica che si spezza nelle rette $P_2P_1$ e $P_2P_3$
N.B. Siccome non sono sicurissimo del ragionamento di cui sopra, è meglio che aspetti conferme ...
La conica $C_1$ si spezza nelle due rette (reali) distinte :
\(\displaystyle 2X_o=(X_1-X_2) \pm (3X_1-X_2) \)
Una conica che passi per i punti ( non allineati) $P_1,P_2,P_3$ e che si spezzi in due rette (reali) non sovrapposte ( e quindi proiettivamente equivalente a $C_1 $ ) secondo me può essere la conica che si spezza nelle rette $P_1P_2$ e $P_1P_3$
Facendo i relativi calcoli si trova che tale conica ha equazione :
$X_1(X_1+X_2)=0$
La conica in questione non è unica ( e del resto la consegna chiede di trovare "una conica" e non "la conica"). Per esempio si può considerare anche la conica che si spezza nelle rette $P_2P_1$ e $P_2P_3$
N.B. Siccome non sono sicurissimo del ragionamento di cui sopra, è meglio che aspetti conferme ...
Il ragionamento sembra giusto... E se mi avesse chiesto di determinare tale proiettività? O, se risulta più semplice, una proiettività che porti $C_1$ nella sua forma canonica?
Per le coniche affini si utilizzavano le basi degli autospazi relativi agli autovalori che si ricavavano dalla sottomatrice quadrata di ordine 2 della matrice associata alla conica per ricavare la matrice associata all'affinità... Nel piano proiettivo si può fare così?
Per le coniche affini si utilizzavano le basi degli autospazi relativi agli autovalori che si ricavavano dalla sottomatrice quadrata di ordine 2 della matrice associata alla conica per ricavare la matrice associata all'affinità... Nel piano proiettivo si può fare così?
"ciromario":
Quesito N° 3
La conica $C_1$ si spezza nelle due rette (reali) distinte :
\(\displaystyle 2X_o=(X_1-X_2) \pm (3X_1-X_2) \)
Scriveresti i passaggi che hai fatto per arrivare a questa forma?
Per avere le due rette in cui si spezza $C_1$ v'è più di un metodo. Il più semplice ed elementare è quello di risolvere l'equazione (di 2°grado ) della conica rispetto ad una delle 3 variabili che vi compaiono. Per esempio, ordinando rispetto ad $X_o$, si ha l'equazione :
$X_o^2-(X_1-X_2)X_o -(2X_1^2-X_1X_2)=0$
Il discriminante di tale equazione è :
$Delta=(X_1-X_2)^2+4(2X_1^2-X_1X_2)=(3X_1-X_2)^2$
E quindi :
(1) \(\displaystyle X_o=\frac{1}{2}[(X_1-X_2)\pm (3X_1-X_2)] \)
da cui le formule che ho postato.
Un altro metodo è quello legato al nucleo della matrice associata alla conica, nucleo che è poi il punto doppio della conica. Nel nostro caso tale punto è $N(-1,1,3)$. Ciò fatto, si taglia la conica con una retta non passante per N, per esempio con la retta $X_o=0$, ottenendo gli altri due punti $R(0,0,1)$ e $S(0,1,2)$. Le rette $NR$ ed $NS$ sono le rette in cui si spezza $C_1$. Le equazioni di tali rette sono $X_o +X_1=0, X_o-2X_1+X_2=0$ rispettivamente.
Come puoi verificare, tali equazioni coincidono con quelle che si ricavano con la (1).
$X_o^2-(X_1-X_2)X_o -(2X_1^2-X_1X_2)=0$
Il discriminante di tale equazione è :
$Delta=(X_1-X_2)^2+4(2X_1^2-X_1X_2)=(3X_1-X_2)^2$
E quindi :
(1) \(\displaystyle X_o=\frac{1}{2}[(X_1-X_2)\pm (3X_1-X_2)] \)
da cui le formule che ho postato.
Un altro metodo è quello legato al nucleo della matrice associata alla conica, nucleo che è poi il punto doppio della conica. Nel nostro caso tale punto è $N(-1,1,3)$. Ciò fatto, si taglia la conica con una retta non passante per N, per esempio con la retta $X_o=0$, ottenendo gli altri due punti $R(0,0,1)$ e $S(0,1,2)$. Le rette $NR$ ed $NS$ sono le rette in cui si spezza $C_1$. Le equazioni di tali rette sono $X_o +X_1=0, X_o-2X_1+X_2=0$ rispettivamente.
Come puoi verificare, tali equazioni coincidono con quelle che si ricavano con la (1).
Ok grazie. E per quanto riguarda le proiettività? Come posso costruirne una che porti ad esempio $C_1$ nella sua forma canonica $C_0$?
Ritorno su il quesito perché mi sono ricordato che la ricerca della proiettività l'avevo già fatta al seguente indirizzo:
proiettivita-t96135.html
e penso che la soluzione sia adattabile come segue.
Le due coniche in questione sono la $C_1$ e la conica spezzata nelle rette $P_1P_2,P_1P_3$
La prima passa per i punti :
$[-1,1,3],[0,0,1],[0,1,2]$
La seconda passa per i punti :
$[1,0,0],[0,0,1],[1,-1,1]$
e possiamo allora costruire la proiettività come un'applicazione lineare accoppiando i punti precedenti nello stesso ordine con cui si presentano. Precisamente, è facile osservare che :
$ [X_o,X_1,X_2]=-X_o[-1,1,3]+(X_o-2X_1+X_2)[0,0,1]+(X_o +X_1 )[0,1,2]$
Indicando con T l'applicazione e passando alle immagini :
$ T[X_o,X_1,X_2]=-X_oT[-1,1,3]+(X_o-2X_1+X_2)T[0,0,1]+(X_o +X_1 )T[0,1,2]=$
$=-X_o [1,0,0]+(X_o-2X_1+X_2)[0,0,1]+(X_o +X_1 )[1,-1,1]$
In definitiva le equazioni della richiesta proiettività sono ( scegliendo il fattore di proporzionalità =1) :
\(\displaystyle \begin{cases} X'_o=X_1 \\ X'_1=-X_o-X_1 \\ X'_2=2X_o-X_1+X_2 \end{cases}\)
Puoi verificare che tali equazioni trasformano effettivamente le due coniche l'una nell'altra.
proiettivita-t96135.html
e penso che la soluzione sia adattabile come segue.
Le due coniche in questione sono la $C_1$ e la conica spezzata nelle rette $P_1P_2,P_1P_3$
La prima passa per i punti :
$[-1,1,3],[0,0,1],[0,1,2]$
La seconda passa per i punti :
$[1,0,0],[0,0,1],[1,-1,1]$
e possiamo allora costruire la proiettività come un'applicazione lineare accoppiando i punti precedenti nello stesso ordine con cui si presentano. Precisamente, è facile osservare che :
$ [X_o,X_1,X_2]=-X_o[-1,1,3]+(X_o-2X_1+X_2)[0,0,1]+(X_o +X_1 )[0,1,2]$
Indicando con T l'applicazione e passando alle immagini :
$ T[X_o,X_1,X_2]=-X_oT[-1,1,3]+(X_o-2X_1+X_2)T[0,0,1]+(X_o +X_1 )T[0,1,2]=$
$=-X_o [1,0,0]+(X_o-2X_1+X_2)[0,0,1]+(X_o +X_1 )[1,-1,1]$
In definitiva le equazioni della richiesta proiettività sono ( scegliendo il fattore di proporzionalità =1) :
\(\displaystyle \begin{cases} X'_o=X_1 \\ X'_1=-X_o-X_1 \\ X'_2=2X_o-X_1+X_2 \end{cases}\)
Puoi verificare che tali equazioni trasformano effettivamente le due coniche l'una nell'altra.
Questo metodo però non è universale: se invece dovessi trovare la proiettività che porta una conica nella sua forma canonica? Ad esempio, se $C$ è una conica e $C_0: X_0^2+X_1^2+X_2^2=0$ è la sua forma canonica, come posso costruire tale proiettività? Perché $C_0$ ammette solo un punto come soluzione ed è $[0,0,0]$. Lo stesso problema sorge per tutte le forme canoniche in $CC$ e $RR$ in cui si possono ottenere al più 2 punti (ad esempio la forma canonica di una conica doppiamente degenere ammette solo $[0,1,0],[0,0,1]$).
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