Coniche: classificazione e proiettività
Salve a tutti. Ho bisogno di un confronto e di un aiuto riguardo le coniche in $P^2(KK)$. Riporto la traccia:
Sono date le seguenti coniche:
$C_1 : X_0^2-2X_1^2-X_0X_1+X_1X_2+X_0X_2=0$ e $C_2 : X_0^2+2X_1^2+X_2^2-2X_0X_1-2X_1X_2=0$
1.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(RR)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
2.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(CC)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
3.Determinare una conica di $P^2(RR)$ proiettivamente equivalente a $C_1$ e passante per i punti $P_1=[1,0,0]$,$P_2=[0,0,1]$ e $P_3=[1,-1,1]$.
Per quanto riguarda il primo punto ho solo bisogno di una conferma... Ecco la mia risoluzione:
1. Considero le due matrici $A_1$ e $A_2$ rispettivamente associate alle coniche $C_1$ e $C_2$
$A_1=((1,-1/2,1/2),(-1/2,-2,1/2),(1/2,1/2,0))$
$A_2=((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1/2,1))$
Riducendo entrambe le matrici per righe ottengo il rango:
$rg(A_1)=2$
$rg(A_2)=2$
A questo punto posso affermare che si tratta di due coniche degeneri di equazione canonica
$C_0: X_0^2 +- X_1^2=0$
Se dimostro che hanno stessa forma canonica allora sono proiettivamente equivalenti, altrimenti non lo sono.
Domanda:Come faccio a decidere se il segno deve essere più o meno?
Per il secondo punto, dovrebbe essere più facile. Infatti, sfruttando i calcoli fatti nel primo punto in cui ho trovato che $rg(A_1)=2$ e $rg(A_2)=2$, deduco che entrambe le coniche hanno forma canonica
$C_0: X_0^2+X_1^2=0$
rappresentano due rette e sono proiettivamente equivalenti.
Il terzo punto invece è completamente oscuro... In linea generale suppongo di dover scrivere una generica equazione di una conica e imporre il passaggio per i 3 punti, solo che questa conica deve essere proiettivamente equivalente a $C_1$ e non so come ricavarla...
Ringrazio tutti i coraggiosi che si cimenteranno nell'aiutarmi a risolvere questa traccia!
Sono date le seguenti coniche:
$C_1 : X_0^2-2X_1^2-X_0X_1+X_1X_2+X_0X_2=0$ e $C_2 : X_0^2+2X_1^2+X_2^2-2X_0X_1-2X_1X_2=0$
1.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(RR)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
2.Classificare $C_1$,$C_2$ in $P^2(CC)$ e stabilire se sono proiettivamente equivalenti.
3.Determinare una conica di $P^2(RR)$ proiettivamente equivalente a $C_1$ e passante per i punti $P_1=[1,0,0]$,$P_2=[0,0,1]$ e $P_3=[1,-1,1]$.
Per quanto riguarda il primo punto ho solo bisogno di una conferma... Ecco la mia risoluzione:
1. Considero le due matrici $A_1$ e $A_2$ rispettivamente associate alle coniche $C_1$ e $C_2$
$A_1=((1,-1/2,1/2),(-1/2,-2,1/2),(1/2,1/2,0))$
$A_2=((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1/2,1))$
Riducendo entrambe le matrici per righe ottengo il rango:
$rg(A_1)=2$
$rg(A_2)=2$
A questo punto posso affermare che si tratta di due coniche degeneri di equazione canonica
$C_0: X_0^2 +- X_1^2=0$
Se dimostro che hanno stessa forma canonica allora sono proiettivamente equivalenti, altrimenti non lo sono.
Domanda:Come faccio a decidere se il segno deve essere più o meno?
Per il secondo punto, dovrebbe essere più facile. Infatti, sfruttando i calcoli fatti nel primo punto in cui ho trovato che $rg(A_1)=2$ e $rg(A_2)=2$, deduco che entrambe le coniche hanno forma canonica
$C_0: X_0^2+X_1^2=0$
rappresentano due rette e sono proiettivamente equivalenti.
Il terzo punto invece è completamente oscuro... In linea generale suppongo di dover scrivere una generica equazione di una conica e imporre il passaggio per i 3 punti, solo che questa conica deve essere proiettivamente equivalente a $C_1$ e non so come ricavarla...
Ringrazio tutti i coraggiosi che si cimenteranno nell'aiutarmi a risolvere questa traccia!
Risposte
Il mio metodo è quello indicato in ordine alla tua prima richiesta. Tu hai chiesto di calcolare la proiettività che porta la conica $C_1$ ( che si spezza in due rette reali e distinte ) nella conica passante per i punti $P_1,P_2,P_3$. Io ti ho proposto la conica che si spezza nelle rette $P_1P_2,P_1P_3$ ( altrimenti non potrebbe essere proiettivamente equivalente a $C_1$ !) ed ho risolto completamente il quesito, determinando la proiettività richiesta. In seconda battuta hai chiesto ( e chiedi anche ora ) la proiettività che porta una conica nella sua forma canonica: questa è altra cosa. Forse sarebbe il caso che cominciassi a consultare qualche testo e non ti limitassi solo a trovare presunte lacune nel lavoro che qui sul Forum facciamo gratis, solo per diletto e passione per la scienza...
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