Conica per cinque punti
Se mi assegnano cinque punti, come posso parametrizzare in modo sintetico i punti della conica? Ossia tra le infinite parametrizzazioni possibili chiedevo un modo per ottenere quella più succinta possibile. Grazie mille.
Risposte
Sei in un piano proiettivo complesso, con un fissato riferimento proiettivo?
Per "parametrizzare" intendi calcolare un'equazione cartesiana della conica?
Per "parametrizzare" intendi calcolare un'equazione cartesiana della conica?
Innanzitutto grazie per la rapidissima risposta. Purtroppo il mio livello di geometria è infimo, diciamo livello poco più che liceale, quindi non ho idea di cosa sia uno spazio proiettivo complesso. Noti cinque punti di coordinate (x,y,z) vorrei scrivere una parametrizzazione della conica che passa per tali punti, del tipo (cos(t),sin(t),0) nel caso di una possibile circonferenza, dove t è un parametro che spazia tra 0 e 2pi.
Per essere più specifico, io ho letto questa paginetta, dove vi è un algoritmo per parametrizzare le coniche noti cinque punti, ma la parametrizzazione che ne esce è molto confusa, un rapporto di seni e coseni per entrambe le coordinate, dove non è molto chiaro l'intervallo in cui far spaziare il parametro. Quindi, mi chiedevo se vi fosse un altro modo per poter ottenere una parametrizzazione più ordinata. Grazie ancora!
Per essere più specifico, io ho letto questa paginetta, dove vi è un algoritmo per parametrizzare le coniche noti cinque punti, ma la parametrizzazione che ne esce è molto confusa, un rapporto di seni e coseni per entrambe le coordinate, dove non è molto chiaro l'intervallo in cui far spaziare il parametro. Quindi, mi chiedevo se vi fosse un altro modo per poter ottenere una parametrizzazione più ordinata. Grazie ancora!
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@portieredellalbergo
"sellacollesella":Questo è un modo "matematichese" per affermare che tali punti devono essere complanari!
Se i cinque punti verificano \(z_n=\alpha x_n+\beta y_n+\gamma\)[...]
Credo di aver capito! Dato che le coniche sono definite come intersezione tra una superficie conica e una superficie piana, i punti devono giacere per forza di cose in un piano. Poi essenzialmente si procede con lo studio "solito" nel piano Oxy per ridursi ad una conica in forma canonica tramite rototraslazione. Grazie!!!
Una conica determina un punto di \(\mathbb P^5\). Perché proprio 5? Il motivo è qui https://en.wikipedia.org/wiki/Veronese_map
Questo permette tra l'altro di definire un "fascio di coniche" come una retta proiettiva di \(\mathbb P^5\).
Questo permette tra l'altro di definire un "fascio di coniche" come una retta proiettiva di \(\mathbb P^5\).
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