Congruenza Esponenziale

[SaltyNenno]

Buonasera, non riesco a risolvere una congruenza esponenziale nonostante sia piuttosto banale, più esattamente non ho idea di che teoremi potrei usufruire per la sua risoluzione. Ringrazio in anticipo chi dedicherà il proprio tempo nel rispondere.

3^x congruo 5 (mod 7)

[anto_zoolander]

considera che $(ZZ_7setminus{0},*)$ è un gruppo moltiplicativo ciclico finito di ordine $6$ quindi

$[3]^x=[3]^y <=> xequivy(mod6)$

verifica che $[3]^5=5$ e otterrai che $[3]^x=[5]=[3]^5 <=> xequiv5(mod6)$

infatti puoi verificare che $[3]^(6k+5)=[5],forallk in ZZ$

nota che $3$ non è invertibile in $ZZ$ ma $[3]$ è invertibile in $ZZ_7setminus{0}$ infatti $[3]*[5]=[1]$

in poche parole le puoi scrivere come

$3^(6k+5)equiv5(mod7)$ se $kgeq0$

$5^(5-6k)equiv5(mod7)$ se $k<0$

quindi al più scarti la seconda soluzione e ti torna la prima.
Ho solo sfruttato il fatto che in un gruppo $(G,times)$ finito e sia $g in G:o(g)=n$ si ha che

$g^k=g^h <=> kequivh(modn)$

[SaltyNenno]

Chiarissimo, ti ringrazio.