Conferma 2 esercizi
Salve a tutti, volevo una conferma su come ho pensato di risolvere questi 2 esercizi :
1) Stabilire per quali valori di $λ \in RR$ il vettore $v = (1,2)$ è autovettore della matrice $C = ((λ+2,0),(-λ,λ+1))$ e determinare se C sia diagonalizzabile per tali valori di $λ$.
$=>$
Svolgo il prodotto matriciale :
$((λ+2,0),(-λ,λ+1))$$((1),(2)) = ((λ+2),(λ+2))$
Il vettore $((λ+2),(λ+2))$ è multiplo del vettore $((1),(2)) <=> λ =-2$
Per tale valore di $λ$ la matrice diventa $((0,0),(2,-1))$ ed è diagonalizzabile in quanto la m.a coincide con la m.g. poichè
il polinomio caratteristico è $λ(λ+1)$ che si annulla per $λ_1=0$ e $λ_2=-1$. Per tali valori la m.a è 1 così come la m.g.
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2) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n ≥ 0$. Determinare tutti e soli i valori di $m$ tale che lo spazio vettoriale $V$ sia isomorfo allo spazio vettoriale $RR^m$. Per tali valori scrivere anche un isomorfismo tra $V$ ed $RR^m$.
$=>$
Per quanto riguarda questo il prof. ci ha suggerito semplicemente di applicare la definizione che conoscevamo, per cui, sapendo tramite una nota proposizione che "Due spazi vettoriali sono isomorfi $<=>$ hanno la stessa dimensione", tutti e soli i valori saranno gli $m>=0$ tale che siano uguali agli $n>=0$. Per il secondo punto ho abbozzato un esempio molto banale ma che ora non ricordo, voi come avreste fatto?
1) Stabilire per quali valori di $λ \in RR$ il vettore $v = (1,2)$ è autovettore della matrice $C = ((λ+2,0),(-λ,λ+1))$ e determinare se C sia diagonalizzabile per tali valori di $λ$.
$=>$
Svolgo il prodotto matriciale :
$((λ+2,0),(-λ,λ+1))$$((1),(2)) = ((λ+2),(λ+2))$
Il vettore $((λ+2),(λ+2))$ è multiplo del vettore $((1),(2)) <=> λ =-2$
Per tale valore di $λ$ la matrice diventa $((0,0),(2,-1))$ ed è diagonalizzabile in quanto la m.a coincide con la m.g. poichè
il polinomio caratteristico è $λ(λ+1)$ che si annulla per $λ_1=0$ e $λ_2=-1$. Per tali valori la m.a è 1 così come la m.g.
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2) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n ≥ 0$. Determinare tutti e soli i valori di $m$ tale che lo spazio vettoriale $V$ sia isomorfo allo spazio vettoriale $RR^m$. Per tali valori scrivere anche un isomorfismo tra $V$ ed $RR^m$.
$=>$
Per quanto riguarda questo il prof. ci ha suggerito semplicemente di applicare la definizione che conoscevamo, per cui, sapendo tramite una nota proposizione che "Due spazi vettoriali sono isomorfi $<=>$ hanno la stessa dimensione", tutti e soli i valori saranno gli $m>=0$ tale che siano uguali agli $n>=0$. Per il secondo punto ho abbozzato un esempio molto banale ma che ora non ricordo, voi come avreste fatto?
Risposte
Per 2), per costruire l'isomorfismo puoi procedere così: fissata una base $v_1 , ... , v_n$ di $V$, sia $K_B : V \to \RR^n$ l'applicazione lineare che associa ad un vettore $v \in V$ le sue coordinate $(\lambda_1 , ... , \lambda_n)$ rispetto alla base $B$. Si prova facilmente che tale applicazione è un isomorfismo di spazi vettoriali.
Il punto 1) secondo te è corretto? Ti ringrazio per l'altro esercizio! 
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