Condizioni che definiscono un'unica applicazione lineare

[sal1989]

Ragazzi vi richiedo aiuto, non riesco a capire cosa mi richiede l'esercizio in questione.

Sia $ f: RR^{3} -> RR^{3} $ l'applicazione lineare definita dalle condizioni

$ f(( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )) = ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) , f(( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) )) = ( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) , f(( ( 1 ),( 2 ),( 1 ) )) = ( ( 5 ),( 10 ),( 5 ) ) $

a) Dire perchè le tre condizioni definiscono un'unica applicazione lineare


.....eh??? Non capisco cosa vuol dire....oddio una mezza idea l'ho, no non so se è quella giusta...
la mia idea è che definiscono un applicazione lineare perchè abbiamo che le immagini sono linearmente indipendenti e anche le controimmagini sono linearmente indipendenti....quindi...definiscono un'unica applicazione lineare...
Aiutatemi....grazie mille in anticipo

[Paolo902]

Non ho ancora studiato questa parte, quindi non sono sicuro se ciò che ti dico è corretto.

Secondo me, però, se noti hai che i tre vettori $(1,0,1)$, $(1,0,-1)$ e $(1,2,1)$ formano una base di $RR^3$ (domanda: perchè?)
Quindi se dai un qualcosa - in questo caso un'applicazione lineare - su una base è come darla per tutti i vettori (a intuito).

Hai capito?

[mistake89]

E' esatto ciò che dice Paolo. C'è un teorema, che sicuramente avrai fatto, di esistenza ed unicità di un 'applicazione lineare che afferma che assegnate le immagini sui vettori di una base di uno spazio $V$, l'applicazione lineare da esse determinata è unica.

Che le immagini siano o no linearmente indipendenti non è una condizione richiesta nell'esistenza, conta solamente che i vettori sui quali assegni le immagini siano una base.

[Paolo902]

"mistake89":E' esatto ciò che dice Paolo. C'è un teorema, che sicuramente avrai fatto, di esistenza ed unicità di un 'applicazione lineare che afferma che assegnate le immagini sui vettori di una base di uno spazio $V$, l'applicazione lineare da esse determinata è unica.

Detto decisamente meglio di quanto non abbia fatto io. Grazie per la conferma.

[size=59]P.S. Noooooooo, non ci credo, l'ho presa... confesso che l'ho quasi sparata (le applicazioni lineari le comincio tra due settimane!)[/size]

[sal1989]

Grazie mille, ogni volta che vi scrivo mi sento un ignorante...xo...grazie mille