Composizione di applcazioni

[_Tipper]

Siano $\varphi$ e $\psi$ due applicazioni lineari e sia $\psi\varphi$ la loro composizione.
Supponiamo che la composizione sia invertibile.
È vero allora che $\varphi$ deve essere iniettiva e $\psi$ deve essere suriettiva?
Se sì, come si dimostra?

Grazie

[Sk_Anonymous]

"Tipper":Siano $\varphi$ e $\psi$ due applicazioni lineari e sia $\psi\varphi$ la loro composizione.
Supponiamo che la composizione sia invertibile. È vero allora che $\varphi$ deve essere iniettiva e $\psi$ deve essere suriettiva?

Siano $\varphi: X_1 \to Y_1$ e $\psi: X_2 \to Y_2$, dove $X_i, Y_i$ sono insiemi (i = 1, 2) e $\varphi(X_1) \subseteq X_2$. Per assurdo, $\varphi$ non sia iniettiva. Allora esistono $x_1, x_2 \in X_1$ distinti tali che $\varphi(x_1) = \varphi(x_2)$, di modo che $(\psi ° \varphi)(x_1) = (\psi ° \varphi)(x_2)$. Dunque $\psi$ non è iniettiva, e di conseguenza non può essere invertibile. Assurdo! La suriettività di $\psi$ consegue poi dalla considerazione che la composta è invertibile solo se suriettiva, i.e. solo se $Y_2 = (\psi ° \varphi)(X_1) = \psi(\varphi(X_1)) \subseteq \psi(X_2) \subseteq Y_2$.