Componenti rispetto alla base (un dubbio)
Un saluto a tutti voi, mi trovo qui a scrivervi perché mi ha assalito un dubbio da cui non riesco bene ad uscire.
Nello studio della teoria oggi in aula è stato affrontato il concetto di componenti del vettore rispetto a una base e il professore ha portato un esempio dopo aver introdotto il concetto.
Ha scritto alla lavagna: mettiamo di avere una base B=(v1, v2, v3),con v1= (4 0 0), v2= (020) v3=(001)
allora il vettore (2 4 6) si scriverà 1/2 v(1)+ 2v(2) +6v(3) con notazione (1/2,2,6)B
La cosa che mi colpisce è però che un vettore della base scritto come v1= (4 0 0), v2= (020) v3=(001) è essa stessa a rigor di logica una rappresentazione delle componenti su una qualche base. Mi sembra cioè di cadere in un loop. Devo definire cioè un vettore fisso-base dove dico: queste non sono le componenti, bensì il valore del vettore e da li poi associo tutte le combinazioni lineare di cui i coefficienti prenderanno il nome di componenti. Devo quindi avere una terna di numeri fissata a priori che non è componenti ma chiamerò vettore.
Se non lo faccio appunto mi pare di cadere in un loop di rappresentazioni rispetto a cosa non si sa.
Non so se mi sono spiegato molto bene, nel caso ci riprovo. Grazie a chi interverrà.
Nello studio della teoria oggi in aula è stato affrontato il concetto di componenti del vettore rispetto a una base e il professore ha portato un esempio dopo aver introdotto il concetto.
Ha scritto alla lavagna: mettiamo di avere una base B=(v1, v2, v3),con v1= (4 0 0), v2= (020) v3=(001)
allora il vettore (2 4 6) si scriverà 1/2 v(1)+ 2v(2) +6v(3) con notazione (1/2,2,6)B
La cosa che mi colpisce è però che un vettore della base scritto come v1= (4 0 0), v2= (020) v3=(001) è essa stessa a rigor di logica una rappresentazione delle componenti su una qualche base. Mi sembra cioè di cadere in un loop. Devo definire cioè un vettore fisso-base dove dico: queste non sono le componenti, bensì il valore del vettore e da li poi associo tutte le combinazioni lineare di cui i coefficienti prenderanno il nome di componenti. Devo quindi avere una terna di numeri fissata a priori che non è componenti ma chiamerò vettore.
Se non lo faccio appunto mi pare di cadere in un loop di rappresentazioni rispetto a cosa non si sa.
Non so se mi sono spiegato molto bene, nel caso ci riprovo. Grazie a chi interverrà.
Risposte
Penso che tu ti riferisca alla base canonica. Se è così, mi trovo d'accordo con ciò che dici.
Per prima cosa grazie per la risposta.
Quindi innanzitutto viene la base, cioè dico questa terna di numeri sono vettori della base con v1= (4 0 0), v2= (020) v3=(001) e non è una rappresentazione di essi e poi rappresento i vari vettori di conseguenza rispetto ad essi. Nel senso, è tutto molto relativo perché ogni terna è anche pensabile come rappresentazione e cadrei in un loop.
Mi davi ragione su questo in pratica? Nel senso: ho capito bene?
grazie
Quindi innanzitutto viene la base, cioè dico questa terna di numeri sono vettori della base con v1= (4 0 0), v2= (020) v3=(001) e non è una rappresentazione di essi e poi rappresento i vari vettori di conseguenza rispetto ad essi. Nel senso, è tutto molto relativo perché ogni terna è anche pensabile come rappresentazione e cadrei in un loop.
Mi davi ragione su questo in pratica? Nel senso: ho capito bene?
grazie
In genere un vettore è espresso in questo modo
dove $mathcal(E)$ è appunto la base canonica!
P.S.: Come vedi non hai bisogno di far girare la trottolina come Di Caprio
$v=alpha_1e_1+...+alpha_n e_n=((alpha_1),(vdots),(alpha_n))=[v]_E$
dove $mathcal(E)$ è appunto la base canonica!
P.S.: Come vedi non hai bisogno di far girare la trottolina come Di Caprio
Il fatto è che il concetto di base canonica nasce come caso particolare dopo esser stato introdotto il concetto di base. Quindi il problema nasce lì. Cosa è la base?
"Un sistema di generatori che sia libero".
Ora voglio applicare questo concetto alle matrici: però quando rappresento una base la rappresento come numeri (ogni vettore della base è un numero nel caso di matrici) e quindi per quello parlavo di loop, perché quei numeri dati $v_1= (4, 0 ,0), v_2= (0,2,0) v_3=(0,0,1)$ che chiamo base sono dei vettori e posso vederli come componenti e quindi nasce prima la base o prima la componente? (parafrasando la gallina e il suo uovo)
Nasce quindi, in principio, un vettore (o meglio un sistema di essi) che chiamerò con dei valori $v_1= (4, 0 ,0), v_2= (0,2,0) v_3=(0,0,1) $(ma potrei trovarne altri a caso basta che siano linearmente ind. tra loro e che non interpreto come componenti) e poi su questi costruisco le componenti.
In sostanza la cosa strana è che
potrei dire, ma guarda che non è la base perché è una combinazione di
Non so se è più chiaro il dubbio
"Un sistema di generatori che sia libero".
Ora voglio applicare questo concetto alle matrici: però quando rappresento una base la rappresento come numeri (ogni vettore della base è un numero nel caso di matrici) e quindi per quello parlavo di loop, perché quei numeri dati $v_1= (4, 0 ,0), v_2= (0,2,0) v_3=(0,0,1)$ che chiamo base sono dei vettori e posso vederli come componenti e quindi nasce prima la base o prima la componente? (parafrasando la gallina e il suo uovo)
Nasce quindi, in principio, un vettore (o meglio un sistema di essi) che chiamerò con dei valori $v_1= (4, 0 ,0), v_2= (0,2,0) v_3=(0,0,1) $(ma potrei trovarne altri a caso basta che siano linearmente ind. tra loro e che non interpreto come componenti) e poi su questi costruisco le componenti.
In sostanza la cosa strana è che
$v_1= (4 ,0, 0), v_2= (0,2,0) v_3=(0,0,1)$
potrei dire, ma guarda che non è la base perché è una combinazione di
$v_1= 2(2, 0, 0), v_2= 2(0, 1 ,0) v3= 2(0 ,0 ,1/2) $
Non so se è più chiaro il dubbio
"matemos":
Il fatto è che il concetto di base canonica nasce come caso particolare dopo esser stato introdotto il concetto di base. Quindi il problema nasce lì. Cosa è la base?
"Un sistema di generatori che sia libero".
Ora voglio applicare questo concetto alle matrici: però quando rappresento una base la rappresento come numeri (ogni vettore della base è un numero nel caso di matrici) e quindi per quello parlavo di loop, perché quei numeri dati $v_1= (4, 0 ,0), v_2= (0,2,0) v_3=(0,0,1)$ che chiamo base sono dei vettori e posso vederli come componenti e quindi nasce prima la base o prima la componente? (parafrasando la gallina e il suo uovo)
Nasce quindi, in principio, un vettore (o meglio un sistema di essi) che chiamerò con dei valori $v_1= (4, 0 ,0), v_2= (0,2,0) v_3=(0,0,1) $(ma potrei trovarne altri a caso basta che siano linearmente ind. tra loro e che non interpreto come componenti) e poi su questi costruisco le componenti.
In sostanza la cosa strana è che
$v_1= (4 ,0, 0), v_2= (0,2,0) v_3=(0,0,1)$
potrei dire, ma guarda che non è la base perché è una combinazione di
$v_1= 2(2, 0, 0), v_2= 2(0, 1 ,0) v3= 2(0 ,0 ,1/2) $
Non so se è più chiaro il dubbio
Non c'è nulla di strano. Esistono infinite basi per uno spazio vettoriale finitamente generato.
Se ho $V=mathcal(L){((1),(0),(0)),((0),(1),(0)),((0),(0),(1))}$ anche ${((7),(0),(0)),((0),(3),(0)),((0),(0),(5))}$ è una base di $V$
Infatti, un vettore di una base può essere sostituito da un suo multiplo.
La base è solo il sistema metrico a cui si fa riferimento[nota]Ovviamente il più comoda è quello che fa riferimento alla base canonica[/nota], mentre la componente è un valore che è relativo alla base scelta. Nel piano cartesiano centrato nell'origine prendo come base ${((1),(0)), ((0),(1))}$, ma potrebbe essermi utile anche considerare una base ruotata di 45° in senso antiorario ${((1/sqrt(2)),(1/sqrt(2))), ((-1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)))}$
Ok quindi salvo errori mi par di aver capito che fuzniona proprio così.
Prendiamo una lavagna vuota, dal nulla, inizio col dire esiste un vettore che chiamo
$v_1= 2(2, 4, 6)$ rispetto a se stesso ad esempio ha componente 1" $1* v_1= (2, 4, 6)$
Noto che posso definire altri 3 vettori
$v_1= (2, 0, 0), v_2= (0, 4, 0) v3= (0, 6, 0) $ e rispetto ad essi ha componenti (1,1,1)
Ma anche altri 3 rispetto cui
$v_1= (1, 0, 0), v_2= (0, 4, 0) v3= (0, 6, 0) $ avrò componenti (2,1,1)
ecc...
Ovviamente parlo a livello intuitivo.
Prendiamo una lavagna vuota, dal nulla, inizio col dire esiste un vettore che chiamo
$v_1= 2(2, 4, 6)$ rispetto a se stesso ad esempio ha componente 1" $1* v_1= (2, 4, 6)$
Noto che posso definire altri 3 vettori
$v_1= (2, 0, 0), v_2= (0, 4, 0) v3= (0, 6, 0) $ e rispetto ad essi ha componenti (1,1,1)
Ma anche altri 3 rispetto cui
$v_1= (1, 0, 0), v_2= (0, 4, 0) v3= (0, 6, 0) $ avrò componenti (2,1,1)
ecc...
Ovviamente parlo a livello intuitivo.
"matemos":
$ v_1= (2, 4, 6) $ rispetto a se stesso ad esempio ha componente $ 1* v_1= (2, 4, 6) $
No ha alcun senso
Le componenti vanno considerate rispetto ad una base; ti pare che $v_1 in RR^3$ possa essere considerato come base di $RR^3$?
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