Componenti dell'esponenziale di una matrice
\(\newcommand{\drv}[2]{\frac{\mathrm{d}{#1}}{\mathrm{d}{#2}}}\)Sto cercando di provare se è corretto scrivere, per una matrice \(X\) quadrata (diciamo complessa) e \(t\in\mathbb{R}\),
\[
\biggl[\drv{}{t}\biggr|_{t=0}\exp(tX)\biggr]_{ij}=\drv{}{t}\biggr|_{t=0}\bigl[\exp(tX)\bigr]_{ij},
\]
ossia se la derivata e l'operazione di "prendere una componente della matrice" commutino.
Il primo membro è banalmente \(X_{ij}\), ma non ho idee per il secondo: in particolare, come posso calcolare la \(ij\)-esima componente della matrice esponenziale di \(X\)?
\[
\biggl[\drv{}{t}\biggr|_{t=0}\exp(tX)\biggr]_{ij}=\drv{}{t}\biggr|_{t=0}\bigl[\exp(tX)\bigr]_{ij},
\]
ossia se la derivata e l'operazione di "prendere una componente della matrice" commutino.
Il primo membro è banalmente \(X_{ij}\), ma non ho idee per il secondo: in particolare, come posso calcolare la \(ij\)-esima componente della matrice esponenziale di \(X\)?
Risposte
Per definizione
\[
\exp(tX) = I + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + ...
\]
dove i puntini indicano che la serie continua con lo sviluppo di Taylor della funzione esponenziale.
Ma scrivendolo in questo modo e' facile capire come deve essere fatto il termine di grado $1$ (che e' quello che contribuisce nella derivata) di $\exp(tX)$. Riesci a capire perche'?
\[
\exp(tX) = I + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + ...
\]
dove i puntini indicano che la serie continua con lo sviluppo di Taylor della funzione esponenziale.
Ma scrivendolo in questo modo e' facile capire come deve essere fatto il termine di grado $1$ (che e' quello che contribuisce nella derivata) di $\exp(tX)$. Riesci a capire perche'?
In effetti tutte le componenti dei termini con esponente maggiore di 1 saranno della forma \(\frac12t^2A_{ij}\), e una volta valutata la derivata daranno zero.
Allora è proprio semplice: grazie!
Allora è proprio semplice: grazie!
"phaerrax":
\(\newcommand{\drv}[2]{\frac{\mathrm{d}{#1}}{\mathrm{d}{#2}}}\)Sto cercando di provare se è corretto scrivere, per una matrice \(X\) quadrata (diciamo complessa) e \(t\in\mathbb{R}\),
\[
\biggl[\drv{}{t}\biggr|_{t=0}\exp(tX)\biggr]_{ij}=\drv{}{t}\biggr|_{t=0}\bigl[\exp(tX)\bigr]_{ij},
\]
ossia se la derivata e l'operazione di "prendere una componente della matrice" commutino.
Il primo membro è banalmente \(X_{ij}\), ma non ho idee per il secondo: in particolare, come posso calcolare la \(ij\)-esima componente della matrice esponenziale di \(X\)?
Comunque la risposta è si, ma non è la strada giusta per calcolare quella derivata.
Se una matrice $A$ dipende da $t$ si può scrivere così:
\[
A(t)=\sum_{i, j} a_{ij}(t) E_{ij}, \]
dove \(E_{ij}\) è la matrice con tutte le entrate nulle tranne la \(i, j\) esima. E quindi
\[
\frac{ d A}{dt}(t)=\sum_{ij} \frac{ da_{ij}}{dt}(t) E_{ij}, \]
ossia la derivata della matrice è la matrice ottenuta derivando componente per componente.
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