Componenti connesse di una cubica piana
Data una cubica nel piano, ad esempio
$2x^3 -3x^2y +4xy^2 -8y^3 +2x^2 -5xy -y^2 +2x -6y -7 = 0$
come è possibile calcolare analiticamente il numero delle componenti connesse?
$2x^3 -3x^2y +4xy^2 -8y^3 +2x^2 -5xy -y^2 +2x -6y -7 = 0$
come è possibile calcolare analiticamente il numero delle componenti connesse?
Risposte
non so veramente quale metodo intendi, però ho provato mettendo la curva a sistema con una generica retta: se il sistema è impossibile, vuol dire che la retta taglia la cubica in due parti sconnesse. con $x=k$ viene un'equazione di terzo grado in y (non dipendente dal parametro), per cui almeno una soluzione in y esiste. non costa nulla ripetere il ragionamento per $y=c$... idem per x.
mettendo a sistema con la retta generica di equazione $y=mx+q$ sono arrivata al punto di esaminare il coefficiente di $x^3$ nell'equazione risultante:
se non ho sbagliato i conti dovrebbe essere $-8m^3+4m^2-3m+2$. se questo coefficiente è diverso da zero la curva interseca qualsiasi retta, per cui è connessa, altrimenti bisogna analizzare anche gli altri coefficienti.
visto che l'equazione $-8m^3+4m^2-3m+2=0$ non è risolubile elementarmente, ricorro allo studio della derivata prima della funzione $f(m)=-8m^3+4m^2-3m+2$ -> $f'(m)=-24m^2+8m-3$ -> f' è sempre negativa, per cui esiste una ed una sola soluzione dell'equazione $-8m^3+4m^2-3m+2=0$.
solo per quel valore di m è possibile trovare coppie di soluzioni (m,q) per cui il sistema è impossibile.
ma non ho completato l'esercizio.
sicuramente si potrà affrontare il problema in più modi. fammi sapere qualcosa.
ci risentiamo. ciao.
mettendo a sistema con la retta generica di equazione $y=mx+q$ sono arrivata al punto di esaminare il coefficiente di $x^3$ nell'equazione risultante:
se non ho sbagliato i conti dovrebbe essere $-8m^3+4m^2-3m+2$. se questo coefficiente è diverso da zero la curva interseca qualsiasi retta, per cui è connessa, altrimenti bisogna analizzare anche gli altri coefficienti.
visto che l'equazione $-8m^3+4m^2-3m+2=0$ non è risolubile elementarmente, ricorro allo studio della derivata prima della funzione $f(m)=-8m^3+4m^2-3m+2$ -> $f'(m)=-24m^2+8m-3$ -> f' è sempre negativa, per cui esiste una ed una sola soluzione dell'equazione $-8m^3+4m^2-3m+2=0$.
solo per quel valore di m è possibile trovare coppie di soluzioni (m,q) per cui il sistema è impossibile.
ma non ho completato l'esercizio.
sicuramente si potrà affrontare il problema in più modi. fammi sapere qualcosa.
ci risentiamo. ciao.
No, io intendo il numero di componenti connesse della curva, ovvero il numero di "pezzi"
della curva.
Ad esempio la quartica
$(x^2+y^2-1) \cdot ((x-7)^2+y^2-4) = 0$
è fatta di due "pezzi".
della curva.
Ad esempio la quartica
$(x^2+y^2-1) \cdot ((x-7)^2+y^2-4) = 0$
è fatta di due "pezzi".
sì, anch'io.
io però questo (cioè il tuo bel metodo, quando si può usare) lo chiamo metodo algebrico, per questo ho chiesto spiegazioni, visto che tu hai parlato di metodo analitico.
ma se la curva interseca qualsiasi retta del piano, non si può concludere che è connessa?
ciao.
io però questo (cioè il tuo bel metodo, quando si può usare) lo chiamo metodo algebrico, per questo ho chiesto spiegazioni, visto che tu hai parlato di metodo analitico.
ma se la curva interseca qualsiasi retta del piano, non si può concludere che è connessa?
ciao.
Vorrei una formuletta in grado di dirmi quante sono le componenti connesse.
ho provato a scomporre, ma ieri non ci sono riuscita. in base all'altro procedimento che non ho portato a termine, ho la sensazione che non ci si riesca.
lì ho commesso un errore di calcolo che non cambia la sostanza e che vado a correggere.
domanda: tu non hai la risposta al quesito?
fammi sapere. ciao.
lì ho commesso un errore di calcolo che non cambia la sostanza e che vado a correggere.
domanda: tu non hai la risposta al quesito?
fammi sapere. ciao.
"adaBTTLS":
ho provato a scomporre, ma ieri non ci sono riuscita. in base all'altro procedimento che non ho portato a termine, ho la sensazione che non ci si riesca.
lì ho commesso un errore di calcolo che non cambia la sostanza e che vado a correggere.
domanda: tu non hai la risposta al quesito?
fammi sapere. ciao.
No, e mi sto chiedendo chi possa saperlo in questo forum..
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