Componenti connesse di "tante" copie di [tex]\math

[alvinlee881]

Ho lo spazio $X={(tx,t)|x\in \mathbb Q, t \in [0,1]}$. Si dimostra che è connesso per archi (è contraibile a $(0,0)$), ma dovrebbe essere che $X \cap {(x,y)|y>0}$ è sconnesso.
Ecco, vorrei capire quali sono le componenti connesse (e comp. connesse per archi) di quest'ultimo spazio. Ad esempio tutti i punti su una stessa retta da $(tx,t)$ all'origine sono collegati da un segmento in $X$, e uno dei modi (l'unico?) per collegare due generici punti di $X$ è collegarli entrambi a $(0,0)$.
Una via che avevo tentato era far vedere che un sottoinsieme $C$ che contiene i due punti $(0,1)$ e $(a,1)$ è sconnesso, ma dividerlo nei due aperti $C \cap {x<\xi}$ e $C \cap {x>\xi}$, con $0<\xi Spero che qualcuno possa aiutarmi.
grazie

[gugo82]

L'insieme [tex]$X$[/tex] è una specie di raggiera, fatta di segmenti che hanno solo l'estremo [tex]$o=(0,0)$[/tex] in comune e che giacciono su semirette uscenti da [tex]$o$[/tex] aventi coefficienti angolari razionali.

Chiaramente qualunque punto di [tex]$X\setminus \{ o\}$[/tex], diverso dagli estremi liberi dei segmenti (i.e. dai punti del tipo [tex]$(x,1)$[/tex]), è di taglio e taglia [tex]$X$[/tex] in due componenti connesse; d'altra parte, eliminando [tex]$o$[/tex] dall'insieme [tex]$X$[/tex] tagli [tex]$X$[/tex] in infinite componenti connesse, che sono i segmentini uscenti da [tex]$o$[/tex] e privati di [tex]$o$[/tex].

Se capisco bene, tu vuoi conoscere le componenti connesse di [tex]$X\cap \{ y>0\}$[/tex]... Beh, innanzitutto, per com'è costruito [tex]$X$[/tex] si ha [tex]$X\subset \{ y\geq 0\}$[/tex] (infatti tutte le coppie [tex]$(tx,t)\neq o$[/tex] hanno seconda coordinata positiva), quindi [tex]$X\cap \{ y>0\} =X\setminus \{ o\}$[/tex]; poi ad occhio e croce, seguendo il ragionamento di prima, direi che le componenti connesse di [tex]$X\setminus \{ o\}$[/tex] sono tutti i segmentini aperti inferiormente [tex]$s_x:=\{ (tx,t), t\in]0,1]\}$[/tex] con [tex]$x\in \mathbb{Q}$[/tex].

[alvinlee881]

Ok gugo grazie, vederla in termini di rette per l'origine è la svolta, non so perchè mi ero fissato a vederlo "orizzonatalmente"
A occhio e croce anche a me sembrano quelle le comp. connesse, provo a dimostrarlo rigorosamente.

Sia $C$ una comp. connessa di [tex]X \setminus \{o\}[/tex], e [tex](tx,x)[/tex], [tex]x\in \mathbb Q[/tex], [tex]t\in (0,1][/tex] un suo punto. Allora l'intero segmento [tex]r_x={(sx,s)|s\in(0,1]}[/tex] è conenuto in $C$, quindi [tex]C=\bigcup_{x\in K} r_x[/tex], [tex]K\subset \mathbb Q[/tex]. Per assurdo sia [tex]y\in K \setminus \{x\}[/tex], e prendiamo $\xi$ un irrazionale fra $x$ e $y$. Allora [tex]C=\big(\bigcup_{x\in K_1} r_x \big) \cup \big(\bigcup_{x\in K_2} r_x \big)[/tex], con [tex]K_1=K \cap \{x<\xi\}[/tex] e [tex]K_2=K \cap \{x>\xi\}[/tex].