Compattezza di uno spazio topologico

[manuamoruso]

Sia A la topologia i cui aperti sono vuoto,R,]-inf,+a[U[0,2] al variare di a appartenente a R con a<0. Studiare la compattezza dello spazio topologico (R,A). Di base direi che non è compatto perchè non riesco tramite un numero finito degli aperti ]-inf,+a[U[0,2] ad ottenere tutto R, tuttavia per definizione di ricoprimenti di aperti forse non è neanche un ricoprimento di aperti, quindi non so se posso considerare tali intervalli per verificare la compattezza. Grazie mille

[otta96]

Se hai un ricoprimento aperto di quello spazio, $3$ in che aperto sta?

[manuamoruso]

"otta96":Se hai un ricoprimento aperto di quello spazio, $3$ in che aperto sta?

Quindi ]-inf,+a[U[0,2] non è un ricoprimento di aperti di R, ma l'unico ricoprimento di aperti di R è tutto R stesso(3 è nell'aperto R essendo che non può essere contenuto in aperti del tipo ]-inf,+a[U[0,2]). Quindi è compatto perchè R, essendo un singolo aperto, da solo copre R?

[otta96]

No, quello non è l'unico ricoprimento, ma...

[manuamoruso]

"otta96":No, quello non è l'unico ricoprimento, ma...

Quindi i possibili ricoprimenti sono sia quelli della forma U={R}, ma effettivamente anche quelli U={R, Ui, i∈I}, dove ogni Ui​ è un aperto della forma (−∞,a)∪[0,2]. Dunque poichè i ricoprimenti aperti di R in questa topologia sono tutte le famiglie di aperti che contengono R, questo implica che, dato qualsiasi ricoprimento aperto, si può sempre estrarre il sottoricoprimento finito {R} e quindi lo spazio topologico è compatto. Giusto?

[otta96]

Esattamente.