Compattezza
Oh, salve.
Questo è a rigore il primo argomento che apro in questo forum
Volevo sciogliermi un dubbio che mi opprime da oramai troppo tempo.
Sia $(X,tau)$ spazio topologico, e sia $B$ una base di aperti. Supponiamo che ogni volta che $X= \cup_{i \in I}U_i$, con $U_i \in B$ per ogni $i \in I$, esista $J \subseteq I$ finito tale che $X = \cup_{j \in J}U_j$. Domanda: è $X$ quasi-compatto?
(Non so se questo linguaggio è universale: per me uno spazio quasi-compatto è uno spazio tale che da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, e uno spazio compatto è uno spazio quasi-compatto e di Hausdorff).
La risposta è sì, ma non riesco ad immaginarmi un motivo.
Voi che ne pensate?
Questo è a rigore il primo argomento che apro in questo forum
Volevo sciogliermi un dubbio che mi opprime da oramai troppo tempo.
Sia $(X,tau)$ spazio topologico, e sia $B$ una base di aperti. Supponiamo che ogni volta che $X= \cup_{i \in I}U_i$, con $U_i \in B$ per ogni $i \in I$, esista $J \subseteq I$ finito tale che $X = \cup_{j \in J}U_j$. Domanda: è $X$ quasi-compatto?
(Non so se questo linguaggio è universale: per me uno spazio quasi-compatto è uno spazio tale che da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, e uno spazio compatto è uno spazio quasi-compatto e di Hausdorff).
La risposta è sì, ma non riesco ad immaginarmi un motivo.
Voi che ne pensate?
Risposte
"Fioravante Patrone":
no,no
dico:
"$a$ è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se $p$ è vera"
dove $p$ è una proposizione dove ci sono variabili, costanti, etc
dato che $p$ ha una struttura del tipo $A => B$ e $A$ è falsa (poiché $x_0$ non è di accumulazione), allora $p$ è vera
ora, il "se" messo in grassetto è proprio il "se" che si usa nelle definizioni, ma non vedo il problema
Non per annoiarvi, ma leggendo questo post mi è venuta questa curiosità: se così stanno le cose (e non oso dubitarne), allora se dico che per $x$ che tende a $-3$ la funzione definita dall'equazione $f(x)=sqrt(x-6)$ ha limite $120$, questo è vero?!?!?!
"WiZaRd":
Non per annoiarvi, ma leggendo questo post mi è venuta questa curiosità: se così stanno le cose (e non oso dubitarne), allora se dico che per $x$ che tende a $-3$ la funzione definita dall'equazione $f(x)=sqrt(x-6)$ ha limite $120$, questo è vero?!?!?!
Certo, purché tu dica che cerchi i limiti in $RR$ (cosa tipicamente sottintesa).
Ha anche limite 77.
Ogni numero reale va bene. Anche -15.
Ma perché restringere la scelta dei limiti ai soli numeri reali?
Solo per far fuori Giosué?
Bella sta cosa. Grazie per il chiarimento.
Se non ti annoio, ti chiederei solo un altra cosa; $lim_{x to c=2}sqrt(4x - x^2 - 4)$: il dominio è ${2}$, quindi il punto $c=2$ non è di accumulazione: in questo caso il limite potrebbe, stando a quello che ho capito nelle ultime 11 ore, essere un qualunque numero reale (se qui avessi intenzione di trovarlo): giusto?
Se sì, perchè il prof (di liceo) disse che sto limite non esisteva, motivando ciò col fatto che $c$ non era di accumulazione???
Se non ti annoio, ti chiederei solo un altra cosa; $lim_{x to c=2}sqrt(4x - x^2 - 4)$: il dominio è ${2}$, quindi il punto $c=2$ non è di accumulazione: in questo caso il limite potrebbe, stando a quello che ho capito nelle ultime 11 ore, essere un qualunque numero reale (se qui avessi intenzione di trovarlo): giusto?
Se sì, perchè il prof (di liceo) disse che sto limite non esisteva, motivando ciò col fatto che $c$ non era di accumulazione???
"WiZaRd":
Bella sta cosa. Grazie per il chiarimento.
Se non ti annoio, ti chiederei solo un altra cosa; $lim_{x to c=2}sqrt(4x - x^2 - 4)$: il dominio è ${2}$, quindi il punto $c=2$ non è di accumulazione: in questo caso il limite potrebbe, stando a quello che ho capito nelle ultime 11 ore, essere un qualunque numero reale (se qui avessi intenzione di trovarlo): giusto?
Se sì, perchè il prof (di liceo) disse che sto limite non esisteva, motivando ciò col fatto che $c$ non era di accumulazione???
ovviamente qualunque numero reale è limite nel punto 2
quanto al prof di liceo, immagino avesse ragione
direi che ci sono due modi di porsi davanti ai problemi sollevati in questo thread:
- adottare il punto di vista "mio", che consiste nel prendere la def di limite "con epsilon e delta", senza richiedere a priori che il punto "$x_0$" sia di accumulazione. Va da se che, se si lavora in punti che non sono di accumulazione, la definizione di limite non dice un granché (ogni roba può essere limite). Questo approccio può avere il vantaggio di una maggiore flessibilità
- adottare il punto di vista "del tuo prof", che immagino fosse il seguente: noi diamo la def di limite solo nei punti di accumulazione. Mi smebra un punto di vista altrettanto legittimo quanto il "mio"
al solito, basta che le def siano chiare!
"Fioravante Patrone":
[quote="WiZaRd"]Bella sta cosa. Grazie per il chiarimento.
Se non ti annoio, ti chiederei solo un altra cosa; $lim_{x to c=2}sqrt(4x - x^2 - 4)$: il dominio è ${2}$, quindi il punto $c=2$ non è di accumulazione: in questo caso il limite potrebbe, stando a quello che ho capito nelle ultime 11 ore, essere un qualunque numero reale (se qui avessi intenzione di trovarlo): giusto?
Se sì, perchè il prof (di liceo) disse che sto limite non esisteva, motivando ciò col fatto che $c$ non era di accumulazione???
ovviamente qualunque numero reale è limite nel punto 2
quanto al prof di liceo, immagino avesse ragione
direi che ci sono due modi di porsi davanti ai problemi sollevati in questo thread:
- adottare il punto di vista "mio", che consiste nel prendere la def di limite "con epsilon e delta", senza richiedere a priori che il punto "$x_0$" sia di accumulazione. Va da se che, se si lavora in punti che non sono di accumulazione, la definizione di limite non dice un granché (ogni roba può essere limite). Questo approccio può avere il vantaggio di una maggiore flessibilità
- adottare il punto di vista "del tuo prof", che immagino fosse il seguente: noi diamo la def di limite solo nei punti di accumulazione. Mi smebra un punto di vista altrettanto legittimo quanto il "mio"
al solito, basta che le def siano chiare![/quote]
Chiarissimo come sempre. Grazie e buon proseguimento di serata.
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