Compatezza

[miuemia]

ciao a tutti, ho questo dubbio riguardo la compatezza.
sul mio libro c'è scritto che dato $Y$ un sottinsieme di $C^0([a,b],RR)$, i seguenti fatti sono equivalenti:

1- da ogni successione $f_k$ di elementi di $Y$ se ne può estrarre una convergente

2- la chiusura di $Y$ è compatta.

mi spiegate gentilmente xkè?
non capisco

[ViciousGoblin]

Perchè in uno spazio metrico un insieme $Y$ è compatto se e solo se:

da ogni successione di punti di $Y$ si può estrarre una sottosuccessione convergente a un punto di $Y$

Allora mi pare quasi evidente che $Y$ ha chiusura compatta se e solo se

da ogni successione di punti di $Y$ si può estrarre una sottosuccessione convergente

[gugo82]

Deriva da una proprietà degli spazi metrici.
Il Teorema di Hausdorff stabilisce che, comunque si assegni una parte $Ssubseteq X$ con $X$ spazio metrico, le condizioni $S$ è compatto, $S$ è sequenzialmente compatto ed $S$ è totalmente limitato e completo rispetto alla metrica indotta sono equivalenti.
Quindi se da ogni successione di $Y subset C([a,b])$ puoi estrarre una successione convergente in $||\cdot||_oo$, ciò significa che $barY$ è sequenzialmente compatto ed il Teorema di Hausdorff ti dice che ciò accade se e solo se $barY$ è compatto.