Come trovare omotopie?
Buongiorno a tutti,
sto preparando l'esame di Geometria e un esercizio chiede di determinare il grado locale in 0 di $f(z)=z^6[2+cos(x-y)+i*sin(|z|^2)]$. La soluzione dell'esercizio propone di trovare una omotopia tra $f$ e $z^6$ in modo da poterne eguagliare i gradi, e l'omotopia proposta è $H:[0,1]\times C_\epsilon(0)\rightarrow RR^2 \setminus {0}$ definita da $H(t,z)=z^6[(1-t)(2+cos(x-y)+i*sin(|z|^2))+t]$. Per quanto, col senno di poi, questo sia plausibile, non riesco a capire il ragionamento con cui tale omotopia è stata ottenuta.
Grazie in anticipo
sto preparando l'esame di Geometria e un esercizio chiede di determinare il grado locale in 0 di $f(z)=z^6[2+cos(x-y)+i*sin(|z|^2)]$. La soluzione dell'esercizio propone di trovare una omotopia tra $f$ e $z^6$ in modo da poterne eguagliare i gradi, e l'omotopia proposta è $H:[0,1]\times C_\epsilon(0)\rightarrow RR^2 \setminus {0}$ definita da $H(t,z)=z^6[(1-t)(2+cos(x-y)+i*sin(|z|^2))+t]$. Per quanto, col senno di poi, questo sia plausibile, non riesco a capire il ragionamento con cui tale omotopia è stata ottenuta.
Grazie in anticipo
Risposte
Riscritta
\[
f(z)=z^6g(z),
\]
tu definisci un'omotopia tale che
\[
H:(t,z)\in[0,1]\times\Omega\to z^6[(1-t)g(z)+t\cdot1]\in\mathbb{C},
\]
con \(\displaystyle\Omega\) il dominio di \(\displaystyle g\); e ricordati che vuoi che sia \(\displaystyle H\) mai nulla nel suo dominio di definizione: perché?
\[
f(z)=z^6g(z),
\]
tu definisci un'omotopia tale che
\[
H:(t,z)\in[0,1]\times\Omega\to z^6[(1-t)g(z)+t\cdot1]\in\mathbb{C},
\]
con \(\displaystyle\Omega\) il dominio di \(\displaystyle g\); e ricordati che vuoi che sia \(\displaystyle H\) mai nulla nel suo dominio di definizione: perché?
Ti ringrazio molto, ho capito!
Per quanto riguarda la tua domanda, non sono sicura della risposta. Forse, perché in tal caso sarebbe omotopa alla funzione nulla?
Per quanto riguarda la tua domanda, non sono sicura della risposta. Forse, perché in tal caso sarebbe omotopa alla funzione nulla?
Se non mi sbaglio: sì!
Grazie mille!
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