Come "riconoscere" un luogo geometrico
Buona domenica a tutti.
Ero alle prese con vari studi di funzione, in cui una delle prime cose richieste è quella di disegnare il dominio della funzione.
Bene o male ho sempre incontrato domini determinati da intersezioni di luoghi geometrici noti, quindi facilmente riconoscibili.
Mi sono invece imbattuto in una funzione definita in:
$A = {(x, y) in R^2: x^2 - 1 <= y^2(1 - y^2)}$
che sinceramente non ho idea di come disegnare.
A sinistra della disuguaglianza posso vedere una parabola traslata, ma a destra.. non saprei.
Ho provato a disegnare separatamente i due trermini che vi sono a destra, cioè: $y^2$ e $1 - y^2$ e farne il prodotto, ma il problema principale è che non riesco ad individuare con precisione la frontiera di A e quindi le coordinate di eventuali punti singolari della frontiera.
Grazie per l'aiuto, ciao!
Ero alle prese con vari studi di funzione, in cui una delle prime cose richieste è quella di disegnare il dominio della funzione.
Bene o male ho sempre incontrato domini determinati da intersezioni di luoghi geometrici noti, quindi facilmente riconoscibili.
Mi sono invece imbattuto in una funzione definita in:
$A = {(x, y) in R^2: x^2 - 1 <= y^2(1 - y^2)}$
che sinceramente non ho idea di come disegnare.
A sinistra della disuguaglianza posso vedere una parabola traslata, ma a destra.. non saprei.
Ho provato a disegnare separatamente i due trermini che vi sono a destra, cioè: $y^2$ e $1 - y^2$ e farne il prodotto, ma il problema principale è che non riesco ad individuare con precisione la frontiera di A e quindi le coordinate di eventuali punti singolari della frontiera.
Grazie per l'aiuto, ciao!
Risposte
l'unica cosa che mi viene in mente per disegnare in modo qualitativo l'area descritta dalla disequazione e' di definire:
w=y^2
e quindi nel piano xw la frontiera dovrebbe essere facilmente disegnabile (se non ricordo male e' una circonferenza), e poi effettuare una "trasformazione dell'asse w"...
spero di averti dato qualche idea..........
ciao alex
w=y^2
e quindi nel piano xw la frontiera dovrebbe essere facilmente disegnabile (se non ricordo male e' una circonferenza), e poi effettuare una "trasformazione dell'asse w"...
spero di averti dato qualche idea..........
ciao alex
"codino75":
l'unica cosa che mi viene in mente per disegnare in modo qualitativo l'area descritta dalla disequazione e' di definire:
w=y^2
e quindi nel piano xw la frontiera dovrebbe essere facilmente disegnabile (se non ricordo male e' una circonferenza), e poi effettuare una "trasformazione dell'asse w"...
spero di averti dato qualche idea..........
ciao alex
Posto $w =y^2$ abbiamo:
$x^2 + (w - 1/2)^2 - 5/4 <= 1$
$x^2 + (w - 1/2)^2 <= 9/4$
che rappresenta un cerchio di centro $(0, 1/2)$ e raggio $3/2$. Bello!
Quindi.. se prima dovevo studiare $f(x, y)$ in $A = {(x, y) in R^2: x^2 - 1 <= y^2(1 - y^2)}$
Ora?
E' la stessa cosa che studiare $f(x, sqrt(w))$ in $A = {(x, w) in R^2: x^2 + (w - 1/2)^2 <= 9/4}$
Non sono sicuro se devo studiare $f(x, sqrt(w))$ o $f(x, w)$..
Grazie per l'idea!
cosa intendi precisamente per "studiare"?
Io trasformo la disequazione iniziale in $ x^2 <= 1+y^2-y^4 $ .
Studio poi la funzione $ x = +-sqrt(1+y^2-y^4) $ che è pari e quindi simmetrica anche rispetto all'asse x con i soliti metodi, calcolando la derivata prima etc...
La regione di piano (che include senz'altro l'origine ) sarà quella interna alla linea chiusa rappresentata dall'espressione indicata sopra.
Studio poi la funzione $ x = +-sqrt(1+y^2-y^4) $ che è pari e quindi simmetrica anche rispetto all'asse x con i soliti metodi, calcolando la derivata prima etc...
La regione di piano (che include senz'altro l'origine ) sarà quella interna alla linea chiusa rappresentata dall'espressione indicata sopra.
Per Camillo: direi che la tua idea non e' male, pero' poi la frontiera risultante non e' molto facile da studiare, mentre se l'idea che ha introdotto codino (che ora provo a continuare) e' corretta, la frontiera risulta molto piu' semplice.
Quindi, la mia funzione iniziale da studiare era $f(x, y) = x^3$ in $A = {(x, y) in R^2: x^2 - 1 <= y^2(1 - y^2)}$
Codino proponeva di trasformare A in $A = {(x, w) in R^2: x^2 + (w - 1/2)^2 <= 9/4}$
Ora la circonferenza possiamo parametrizzarla con:
$x = 3/2 * cos(theta)$
$w = 1/2 + 3/2 * sin(theta)$
con $0 <= theta <= 2pi$
Quindi studiamo f lungo la circonferenza:
$f(3/2 * cos(theta), 1/2 + 3/2 * sin(theta)) = (3/2 * cos(theta))^3 = g(theta)$
$g'(theta) = 27/8 * 3cos^2(theta) * (-sin(theta))$
Studiando il segno di questa derivata troviamo che:
- per $theta = 0$ -> MASSIMO per g (e per f) -> $x = 3/2$
- per $theta = pi/2$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
- per $theta = pi$ -> MINIMO per g (e per f)-> $x = -3/2$
- per $theta = 3/2pi$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
Ha senso tutto cio'?
Quindi, la mia funzione iniziale da studiare era $f(x, y) = x^3$ in $A = {(x, y) in R^2: x^2 - 1 <= y^2(1 - y^2)}$
Codino proponeva di trasformare A in $A = {(x, w) in R^2: x^2 + (w - 1/2)^2 <= 9/4}$
Ora la circonferenza possiamo parametrizzarla con:
$x = 3/2 * cos(theta)$
$w = 1/2 + 3/2 * sin(theta)$
con $0 <= theta <= 2pi$
Quindi studiamo f lungo la circonferenza:
$f(3/2 * cos(theta), 1/2 + 3/2 * sin(theta)) = (3/2 * cos(theta))^3 = g(theta)$
$g'(theta) = 27/8 * 3cos^2(theta) * (-sin(theta))$
Studiando il segno di questa derivata troviamo che:
- per $theta = 0$ -> MASSIMO per g (e per f) -> $x = 3/2$
- per $theta = pi/2$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
- per $theta = pi$ -> MINIMO per g (e per f)-> $x = -3/2$
- per $theta = 3/2pi$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
Ha senso tutto cio'?
"Luca D.":
- per $theta = pi/2$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
- per $theta = 3/2pi$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
non capisco: FLESSO per g (SELLA per la f)
vuoi dire che avere un punto di flesso per $f$ è come avere un punto di sella per $g$?
devi fornire le prove di quanto affermi
"Fioravante Patrone":
[quote="Luca D."]
- per $theta = pi/2$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
- per $theta = 3/2pi$ -> FLESSO per g (SELLA per la f) -> $x = 0$
non capisco: FLESSO per g (SELLA per la f)
vuoi dire che avere un punto di flesso per $f$ è come avere un punto di sella per $g$?
devi fornire le prove di quanto affermi
[/quote]Io ero proprio convinto di si!!
Non posso quindi sapere solo con queste informazioni che tipo di punto critico sia?
Grazie per avermi corretto una tale convinzione!
no, attenzione, io mi riferivo solo ed esclusivamente al legame che tu consideravi fra un punto di flesso (sulla frontiera) ed un punto di sella
in generale non c'è alcun legame! Suggerimento: fatti un po' di esempi facili facili, tipo $x^3 + y^2$ e $x^2 - y^2$, considerando come vincoli gli assi
comunque, se il tuo punto di flesso sulla frontiera
- ha tangente orizzontale (se non ha tangente orizzontale, ovviamente non hai né max né min)
- è "stretto" (cioè, la funzione $g$ sta strettamente sotto la retta tangente a sx e strettamente sopra a dx (o viceversa)
allora ovviamente il punto non è né di max né di min per $g$ (ovvero, per $f$ ristretta alla frontiera) e quindi non lo è nemmeno per $f$
NB: corretto: avevo scritto "allora non ovviamente" (il che non ha molto senso...), invece di "allora ovviamente"
in generale non c'è alcun legame! Suggerimento: fatti un po' di esempi facili facili, tipo $x^3 + y^2$ e $x^2 - y^2$, considerando come vincoli gli assi
comunque, se il tuo punto di flesso sulla frontiera
- ha tangente orizzontale (se non ha tangente orizzontale, ovviamente non hai né max né min)
- è "stretto" (cioè, la funzione $g$ sta strettamente sotto la retta tangente a sx e strettamente sopra a dx (o viceversa)
allora ovviamente il punto non è né di max né di min per $g$ (ovvero, per $f$ ristretta alla frontiera) e quindi non lo è nemmeno per $f$
NB: corretto: avevo scritto "allora non ovviamente" (il che non ha molto senso...), invece di "allora ovviamente"
Giusto per chiarire riprendo una funzione che ho appena studiato:
$f(x, y) = x^3 - 6xy + 3y^2 + 3x$
Il gradiente si annulla in (1, 1), punto per cui il determinante dell'Hessiana vale 0.
Studiamo la funzione lungo la bisettrice del primo quadrante:
$f(t, t) = t^3 - 6t^2 +3t^2 + 3t = t^3 - 3t^2 + 3t = g(t)$
$g'(t) = 3t^2 - 6t + 3$
che e' >= 0 per ogni t e vale 0 per t = 1.
Quindi per t = 1 abbiamo un flesso per la g. Posso concludere che abbiamo una sella per la f?
$f(x, y) = x^3 - 6xy + 3y^2 + 3x$
Il gradiente si annulla in (1, 1), punto per cui il determinante dell'Hessiana vale 0.
Studiamo la funzione lungo la bisettrice del primo quadrante:
$f(t, t) = t^3 - 6t^2 +3t^2 + 3t = t^3 - 3t^2 + 3t = g(t)$
$g'(t) = 3t^2 - 6t + 3$
che e' >= 0 per ogni t e vale 0 per t = 1.
Quindi per t = 1 abbiamo un flesso per la g. Posso concludere che abbiamo una sella per la f?
"Luca D.":
Quindi per t = 1 abbiamo un flesso per la g. Posso concludere che abbiamo una sella per la f?
come sopra: a te l'arduo onere della prova
prenditi le def di flesso e di sella + olio di gomito
queste cose uno le deve "toccare con mano" per capirle
secondo me tu sei vittima di una "leggenda metropolitana", che provo a descrivere
1) allora, se una funzione di una variabile ha un punto in cui si annulla la derivata, questo punto è di max, di min o di flesso
2) inoltre, se una funzione di due variabili ha un punto in cui si annulla il gradiente, questo punto è di amx, di min o di sella
3) ergo, flesso "=" sella
Bene: ammettiamo pure, tanto al chilo, che siano vere 1) e 2) [non sono vere, ci sono anche altri casi possibili... ma per funzioni non troppo selvatiche lo possiamo dire]
Comunque, da questo non segue minimamente 3)
Ecco il dominio colorato in rosso.
Se ho capito bene, trovando una direzione lungo la quale la restrizione di f ammette un minimo, e una lungo cui ammette un massimo, posso concludere di aver trovato una sella.
Nel precedente caso, abbiamo trovato che che lungo l'asse x, $f(t, 0) = g_1(t)$ ha un flesso.
Ora vedo che lungo l'asse y, $f(0, t) = g_2(t)$ ha un minimo.
Posso concludere gia' qualcosa o devo trovare una direzione lungo la quale ammette un massimo? E se non trovassi tale direzione?
Nel precedente caso, abbiamo trovato che che lungo l'asse x, $f(t, 0) = g_1(t)$ ha un flesso.
Ora vedo che lungo l'asse y, $f(0, t) = g_2(t)$ ha un minimo.
Posso concludere gia' qualcosa o devo trovare una direzione lungo la quale ammette un massimo? E se non trovassi tale direzione?
"Luca D.":
Se ho capito bene, trovando una direzione lungo la quale la restrizione di f ammette un minimo, e una lungo cui ammette un massimo, posso concludere di aver trovato una sella.
la risposta è sostanzialmente sì
la def di punto di sella non è proprio univocamente data...
direi che la tua è una di quelle più alla moda
"Luca D.":
Nel precedente caso, abbiamo trovato che che lungo l'asse x, $f(t, 0) = g_1(t)$ ha un flesso.
Ora vedo che lungo l'asse y, $f(0, t) = g_2(t)$ ha un minimo.
Posso concludere gia' qualcosa o devo trovare una direzione lungo la quale ammette un massimo? E se non trovassi tale direzione?
se lungo una direzione ha un flesso ("stretto"), quel punto non sarà di max né di min
perché mai dovresti lambiccarti il cervello ulteriormente?
Ah ok, infatti me l'avevi detto prima.
Allora, facciamo un bel riassunto che mi fa sempre bene..
Dato un flesso per la g, questo e' una sella per la f se (ti quoto):
- ha tangente orizzontale (se non ha tangente orizzontale, ovviamente non hai né max né min)
- è "stretto" (cioè, la funzione $g$ sta strettamente sotto la retta tangente a sx e strettamente sopra a dx (o viceversa)
Ok, sono fuso.. come verifico la seconda?
Allora, facciamo un bel riassunto che mi fa sempre bene..
Dato un flesso per la g, questo e' una sella per la f se (ti quoto):
- ha tangente orizzontale (se non ha tangente orizzontale, ovviamente non hai né max né min)
- è "stretto" (cioè, la funzione $g$ sta strettamente sotto la retta tangente a sx e strettamente sopra a dx (o viceversa)
Ok, sono fuso.. come verifico la seconda?
sei fuso...
"questo e' una sella per la f" lo dici tu
meglio dormirci sopra
ciao
"questo e' una sella per la f" lo dici tu
meglio dormirci sopra
ciao
"Fioravante Patrone":
sei fuso...
"questo e' una sella per la f" lo dici tu
meglio dormirci sopra
ciao
Ma come?! Nell'ultimo esempio non abbiamo appena detto che la g ha un flesso stretto -> sella per f?
Vorrei dormirci sopra ma fra 9 ore ho lo scritto di analisi 2
Aspetta, stai dicendo che se un punto critico non e' ne di max e ne di min per la f, puo' essere altro e non necessariamente un punto di sella?
"Fioravante Patrone":
[quote="Luca D."]Nel precedente caso, abbiamo trovato che che lungo l'asse x, $f(t, 0) = g_1(t)$ ha un flesso.
Ora vedo che lungo l'asse y, $f(0, t) = g_2(t)$ ha un minimo.
Posso concludere gia' qualcosa o devo trovare una direzione lungo la quale ammette un massimo? E se non trovassi tale direzione?
se lungo una direzione ha un flesso ("stretto"), quel punto non sarà di max né di min
perché mai dovresti lambiccarti il cervello ulteriormente?[/quote]
ti riferisci a questo?
io non ho detto che è un punto di sella
ho detto che non è di max o di min
al mondo non ci sono solo max, min e selle...
ma se hai l'esame fra 9 ore, è molto, ma molto meglio che vai a dormire subito
bene, ho visto il tuo post che si è incorciato col mio
esattamente quello volevo dire!
x^3 + y^2
nell'origine si annulla il gradiente, ma non è né punto di max, né di min, né di sella
esattamente quello volevo dire!
x^3 + y^2
nell'origine si annulla il gradiente, ma non è né punto di max, né di min, né di sella
Se non chiarisco l'argomento posso anche andare a ballare.. 
Comunque intanto grazie infinite per tutte le delucidazione, io davo per scontato che se non fosse max o min, fosse un punto di sella..
Ho provato con il primo esempio che mi hai scritto:
$f(x, y) = x^3 + y^2$
Gradiente si annulla in (0, 0).
$f(t, 0) = t^3$ flesso lungo l'asse x.
$f(0, t) = t^2$ minimo lungo l'asse y.
So quindi che non ha ne un max ne un min, ma non posso concludere che e' un flesso?
EDIT: hehe abbiamo riportato contemporaneamente lo stesso esempio..
Ma quindi dallo studio delle restrizioni, posso affermare di avere una sella SOLO se trovo due restrizioni per cui ho un max e un min?
Comunque intanto grazie infinite per tutte le delucidazione, io davo per scontato che se non fosse max o min, fosse un punto di sella..
Ho provato con il primo esempio che mi hai scritto:
$f(x, y) = x^3 + y^2$
Gradiente si annulla in (0, 0).
$f(t, 0) = t^3$ flesso lungo l'asse x.
$f(0, t) = t^2$ minimo lungo l'asse y.
So quindi che non ha ne un max ne un min, ma non posso concludere che e' un flesso?
EDIT: hehe abbiamo riportato contemporaneamente lo stesso esempio..
Ma quindi dallo studio delle restrizioni, posso affermare di avere una sella SOLO se trovo due restrizioni per cui ho un max e un min?
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