Come dimostrare il Teorema di Stokes e di Gauss-Green
Come li dimostro?
[ricordo gli enunciati del mio prof: (Green-Gauss)"Dato un campo vettoriale $vecE$ definito, con le sue derivate prime, in una regione dello spazio $D$ dove è presente una superficie chiusa $S$ che racchiude un volume $V$, vale che:
$int_S vecE*\hatndS=int_V ((delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz))*dV"
(Stokes)"Dato un campo vettoriale $vecE$ definito, con le sue derivate prime, in una regione dello spazio $D$ dove è presente una linea chiusa $lambda$, il flusso del vettore $rotE$ attraverso la superficie $S$ racchiusa dalla linea chiusa $lambda$ è pari alla circuitazione del campo $vecE$ lungo $lambda$:
$int_S rotE*\hatndS=int_(lambda) vecE*dvecl$]
ps: è un esame di Fisica a Geologia
mi serve una dimostrazione fisica dei 2 teoremi
[ricordo gli enunciati del mio prof: (Green-Gauss)"Dato un campo vettoriale $vecE$ definito, con le sue derivate prime, in una regione dello spazio $D$ dove è presente una superficie chiusa $S$ che racchiude un volume $V$, vale che:
$int_S vecE*\hatndS=int_V ((delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz))*dV"
(Stokes)"Dato un campo vettoriale $vecE$ definito, con le sue derivate prime, in una regione dello spazio $D$ dove è presente una linea chiusa $lambda$, il flusso del vettore $rotE$ attraverso la superficie $S$ racchiusa dalla linea chiusa $lambda$ è pari alla circuitazione del campo $vecE$ lungo $lambda$:
$int_S rotE*\hatndS=int_(lambda) vecE*dvecl$]
ps: è un esame di Fisica a Geologia
mi serve una dimostrazione fisica dei 2 teoremi
Risposte
Ci sono molti modi, alcuni molto "formali", perchè discendono dal teorema fondamentale del calcolo esterno di Cartan, altri molto più semplici ma meno rigorosi.
Ad esempio si può considerare un volumetto infinitesimo e fare il flusso attraverso le sue superfici, utilizzando gli sviluppi in serie di taylor, è un metodo che dal punto di vista dell'analisi non sarebbe da considerare una vera dimostrazione, ma è riportato su molti testi di fisica.
Ad esempio si può considerare un volumetto infinitesimo e fare il flusso attraverso le sue superfici, utilizzando gli sviluppi in serie di taylor, è un metodo che dal punto di vista dell'analisi non sarebbe da considerare una vera dimostrazione, ma è riportato su molti testi di fisica.
"Matteos86":
Come li dimostro?
Di solito i libri di Analisi II hanno la risposta...
io ho provato cosi: (Gauss-Green)
considero una distribuzione uniforme di carica q su un volume V, quindi posso dire che $rho=(dq)/(dV) -> Q=int_VrhodV$ per Gauss (campo elettrico) $int_SvecE*\hatndS=sum_iq_i/(epsilon_0)$ cioè $phi_E=1/epsilon_0int_VrhodV=int_V(delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz)dV$ quindi $((delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz))|_P=(rho(P))/epsilon_0$
ed ho la prima equazione di Maxwell in forma differenziale, è corretto? (non so andare oltre)
(Stokes)
Considero una curva chiusa $lambda$ che racchiude una superficie $S$ e sia $\hatn_S$ la normale ad $S$ e $\hatn_lambda, vectau_lambda$ la normale e la tangente al contorno in un dato punto lungo la linea $lambda$. Mi costruisco il vettore $vecC=vecE^^\hatn_lambda$ allora:
circuitazione di $vecC$ su $lambda$ : $int_lambda vecC*dveclambda=int_S rotvecC*\hatn_SdS=int_S rot(vecE^^\hatn_lambda)*\hatn_SdS=int_S rotvecE*\hatndS$ ho sbaglaito qualcosa? se si dove?
considero una distribuzione uniforme di carica q su un volume V, quindi posso dire che $rho=(dq)/(dV) -> Q=int_VrhodV$ per Gauss (campo elettrico) $int_SvecE*\hatndS=sum_iq_i/(epsilon_0)$ cioè $phi_E=1/epsilon_0int_VrhodV=int_V(delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz)dV$ quindi $((delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz))|_P=(rho(P))/epsilon_0$
ed ho la prima equazione di Maxwell in forma differenziale, è corretto? (non so andare oltre)
(Stokes)
Considero una curva chiusa $lambda$ che racchiude una superficie $S$ e sia $\hatn_S$ la normale ad $S$ e $\hatn_lambda, vectau_lambda$ la normale e la tangente al contorno in un dato punto lungo la linea $lambda$. Mi costruisco il vettore $vecC=vecE^^\hatn_lambda$ allora:
circuitazione di $vecC$ su $lambda$ : $int_lambda vecC*dveclambda=int_S rotvecC*\hatn_SdS=int_S rot(vecE^^\hatn_lambda)*\hatn_SdS=int_S rotvecE*\hatndS$ ho sbaglaito qualcosa? se si dove?
"Matteos86":
io ho provato cosi: (Gauss-Green)
considero una distribuzione uniforme di carica q su un volume V, quindi posso dire che $rho=(dq)/(dV) -> Q=int_VrhodV$ per Gauss (campo elettrico) $int_SvecE*\hatndS=sum_iq_i/(epsilon_0)$ cioè $phi_E=1/epsilon_0int_VrhodV=int_V(delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz)dV$ quindi $((delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz))|_P=(rho(P))/epsilon_0$
ed ho la prima equazione di Maxwell in forma differenziale, è corretto? (non so andare oltre)
(Stokes)
Considero una curva chiusa $lambda$ che racchiude una superficie $S$ e sia $\hatn_S$ la normale ad $S$ e $\hatn_lambda, vectau_lambda$ la normale e la tangente al contorno in un dato punto lungo la linea $lambda$. Mi costruisco il vettore $vecC=vecE^^\hatn_lambda$ allora:
circuitazione di $vecC$ su $lambda$ : $int_lambda vecC*dveclambda=int_S rotvecC*\hatn_SdS=int_S rot(vecE^^\hatn_lambda)*\hatn_SdS=int_S rotvecE*\hatndS$ ho sbaglaito qualcosa? se si dove?
Ma cerchi una risposta fisica o una risposta matematica al problema?
Fossi fisico, saprei dirti se dici giusto o sbagliato ma per fortuna sono matematico.
"Gugo82":
[quote="Matteos86"]io ho provato cosi: (Gauss-Green)
considero una distribuzione uniforme di carica q su un volume V, quindi posso dire che $rho=(dq)/(dV) -> Q=int_VrhodV$ per Gauss (campo elettrico) $int_SvecE*\hatndS=sum_iq_i/(epsilon_0)$ cioè $phi_E=1/epsilon_0int_VrhodV=int_V(delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz)dV$ quindi $((delE_x)/(delx)+(delE_y)/(dely)+(delE_z)/(delz))|_P=(rho(P))/epsilon_0$
ed ho la prima equazione di Maxwell in forma differenziale, è corretto? (non so andare oltre)
(Stokes)
Considero una curva chiusa $lambda$ che racchiude una superficie $S$ e sia $\hatn_S$ la normale ad $S$ e $\hatn_lambda, vectau_lambda$ la normale e la tangente al contorno in un dato punto lungo la linea $lambda$. Mi costruisco il vettore $vecC=vecE^^\hatn_lambda$ allora:
circuitazione di $vecC$ su $lambda$ : $int_lambda vecC*dveclambda=int_S rotvecC*\hatn_SdS=int_S rot(vecE^^\hatn_lambda)*\hatn_SdS=int_S rotvecE*\hatndS$ ho sbaglaito qualcosa? se si dove?
Ma cerchi una risposta fisica o una risposta matematica al problema?
Fossi fisico, saprei dirti se dici giusto o sbagliato ma per fortuna sono matematico.[/quote]
l'esame è di fisica, ma non spaevo se postare qui o alla sezione di fisica
I teoremi di stokes e di gauss green sono teoremi di analisi, la dimostrazione fatta con le cariche è relativa alla legge di gauss dell'elettromagnetismo.
I miei complimenti al matematico che si ritiene fortunato a non essere un fisico: persone così incarnano l'ideale del libero pensiero e non sono chiuse come barattoli.
I miei complimenti al matematico che si ritiene fortunato a non essere un fisico: persone così incarnano l'ideale del libero pensiero e non sono chiuse come barattoli.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
I teoremi di stokes e di gauss green sono teoremi di analisi, la dimostrazione fatta con le cariche è relativa alla legge di gauss dell'elettromagnetismo.
I miei complimenti al matematico che si ritiene fortunato a non essere un fisico: persone così incarnano l'ideale del libero pensiero e non sono chiuse come barattoli.
che vuoi dire? cioè essere fisici significa essere chiusi come barattoli? [io ho diversi miei amici fisici che non sono cosi..anzi.., poi ovviamente non si può fare dell'erba tutto un fascio..]
Era ironico, era un modo per sottolineare come l'atteggiamento di chi dice: "io non so la fisica, sono matematico, per fortuna! "sia un atteggiamento che denota chiusura mentale.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Era ironico, era un modo per sottolineare come l'atteggiamento di chi dice: "io non so la fisica, sono matematico, per fortuna! "sia un atteggiamento che denota chiusura mentale.
aahhh
"GIOVANNI IL CHIMICO":
I teoremi di stokes e di gauss green sono teoremi di analisi, la dimostrazione fatta con le cariche è relativa alla legge di gauss dell'elettromagnetismo.
I miei complimenti al matematico che si ritiene fortunato a non essere un fisico: persone così incarnano l'ideale del libero pensiero e non sono chiuse come barattoli.
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Era ironico, era un modo per sottolineare come l'atteggiamento di chi dice: "io non so la fisica, sono matematico, per fortuna! "sia un atteggiamento che denota chiusura mentale.
Avessi letto gli altri miei messaggi sul foro avresti capito che ero ironico; probabilmente non ne hai incontrato alcuno degno di nota per te, che sei così aperto mentalmente... il problema di chi si tiene così aperto è che, col freddo di questi giorni, si generano correnti d'aria pericolose per le meningi.
Il problema del messaggio originario era che davvero non si capiva a che livello dare la risposta, perchè c'era sovrapposizione tra il livello "applicativo" ed il livello "teorico"; inoltre fa sempre bene ricordare che quella fornita nei corsi di Fisica non è una dimostrazione di un teorema matematico.
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