Come dimostrare che un sottinsieme è un sottosp vettoriale
salve a tutti, ho dei seri dubbi riguardo i sottspazi vettoriali-
So che per vedere se un sottinsieme è un sottospazio vettoriale devo:
1) dimostrare che contiene il vettore nullo
2)dimostare che qualsiasi vettore, somma di due vettori appartenenti al sottospazio vett., appartiene anch'esso a tale sottospazio.
3)se moltiplico un vettore per un numero reale, diverso da 0, il vettore che ottengo deve appartenere semrpe a tale sottospazio
questi due esercizi mi hanno fatto venire dei dubbi :
Nello spazio vettoriale R4 si considerino i sottinsiemi:
1. F1= { v € R4/ x^2 + y^2 + z^2 + t^2=0}
2. F2= { v € R4/ x^2 + y^2 - z^2 + t^2=0}
Stabilire quali di questi sottinsiemi sono sottospazi vettoriali.
il pimo esercizio (F1) ho provato a risolverlo: ho visto che contiene il vett nullo, ma la somma di due vettori non mi dà un vettore che appartiene al sottospazio; per cui ho concluso che il sottospazio è formato dal solo vetotre nullo {0};
ho provato a svolgere il secondo esercizio (F2): ho ottenuto gli stessi risultati del primo esercizio ovvero il sottospazio non è vuoto perchè continee il solo vettore nullo: quindi in conclusione veebbe da dire che entrambi i sottinsiemi (F1,F2) sono entrambi sottospazi contenenti il solo vettore nullo
"Purtroppo" vado a vedere sul libro e danno come risultati: F1 è sotospazio che contiene il solo vettore nullo, F2 non è un sottospazio.
non riesco a capire dove sbaglio. Mi potreste dare una mano? ho l'esame lunedì!!!
PS: non ho usato le formule perchè non le so usare e in questo periodo non posso mettermi a studiarle, perchè sono impegnato con gli esami
So che per vedere se un sottinsieme è un sottospazio vettoriale devo:
1) dimostrare che contiene il vettore nullo
2)dimostare che qualsiasi vettore, somma di due vettori appartenenti al sottospazio vett., appartiene anch'esso a tale sottospazio.
3)se moltiplico un vettore per un numero reale, diverso da 0, il vettore che ottengo deve appartenere semrpe a tale sottospazio
questi due esercizi mi hanno fatto venire dei dubbi :
Nello spazio vettoriale R4 si considerino i sottinsiemi:
1. F1= { v € R4/ x^2 + y^2 + z^2 + t^2=0}
2. F2= { v € R4/ x^2 + y^2 - z^2 + t^2=0}
Stabilire quali di questi sottinsiemi sono sottospazi vettoriali.
il pimo esercizio (F1) ho provato a risolverlo: ho visto che contiene il vett nullo, ma la somma di due vettori non mi dà un vettore che appartiene al sottospazio; per cui ho concluso che il sottospazio è formato dal solo vetotre nullo {0};
ho provato a svolgere il secondo esercizio (F2): ho ottenuto gli stessi risultati del primo esercizio ovvero il sottospazio non è vuoto perchè continee il solo vettore nullo: quindi in conclusione veebbe da dire che entrambi i sottinsiemi (F1,F2) sono entrambi sottospazi contenenti il solo vettore nullo
"Purtroppo" vado a vedere sul libro e danno come risultati: F1 è sotospazio che contiene il solo vettore nullo, F2 non è un sottospazio.
non riesco a capire dove sbaglio. Mi potreste dare una mano? ho l'esame lunedì!!!
PS: non ho usato le formule perchè non le so usare e in questo periodo non posso mettermi a studiarle, perchè sono impegnato con gli esami
Risposte
I) NO! Il primo insieme è composto dal solo vettore nullo poiché la somma di quadrati sarebbe zero se e solo se le basi fossero 0.
II) Il secondo insieme non è composto dal solo vettore nullo, non contenendo la somma di vettori non nulli non è un sottospazio!
II) Il secondo insieme non è composto dal solo vettore nullo, non contenendo la somma di vettori non nulli non è un sottospazio!
non ho capito bene il secondo punto. che vuoi dire quando dici non contenendo la somma di vettori non nulli non è un sottospazio? potresti rispiegarmelo per piacere?
La somma di (due) vettori non nulli può essere il vettore nullo oppure no, nella seconda eventualità se il vettore non appartenesse all'insieme tale non sarebbe "chiuso per somma di (due) vettore" quindi non può essere uno spazio vettoriale.
ok grazie mille! mi puoi dire un'altra cosa? se per esempio ho una matrice, per vedere se è uno spazio vettoriale cosa devo fare?
Modifica la domanda poiché così com'è non ha senso!
per esempio : {(1,2,0),(2,3,0),(0,0,0)}; verificare che è un sottospazio vettoriale. Oppure verificare che W={(x11 y12 z21 t22) |x,y,z,t€R e z=1} è un sottospazio vettoriale (11,12,21,22 sono le posizioni nella matrice).
Nel i esempio vedi che la somma dei primi 2 vettori è (3;5;0) il quale non è un vettore del dato insieme per cui esso non è uno spazio vettoriale (reale).
Nel secondo caso imposto [tex]z=1[/tex] in III coordinata si ha sempre 21 ma facendo la somma non si ha sempre 212 per cui non è uno spazio vettoriale.
Nel secondo caso imposto [tex]z=1[/tex] in III coordinata si ha sempre 21 ma facendo la somma non si ha sempre 212 per cui non è uno spazio vettoriale.
come fai a sapere che la somma dei primi due vettori non appartiene al dato insieme? scusa se ti sto assillando ma non li riesco proprio a capire...
Me l'hai dato tu l'insieme, esso è composto solo dai 3 vettori dati!
ah ok. mentre nel secondo caso non è un sottospazio perchè mposto z=1 perchè non ottengo semrpe z=1 in terza posizione?
Non esattamente, impostato z=1 in III posizione vi è 21; ma facendo le somme di vettori non hai sempre 21 oppure moltiplicando per -1 in III posizione si ha -21, ecco 2 modi per dirlo correttamente!
ok grazie. quindi in definitiva per vedere se un inseme è un sottospazio devo dimostrare che il valore 0 è dato solo dal vettore nullo e poi vedere che la somma è chiusa ma per vedere che la somma è chiusa cosa devofare? ti giuro che è l'ultima domanda poi nn ti rompo più.
Lo "0" è dato solo dal vettore nullo e deve essere nell'insieme altrimenti: NO
Sommi 2 vettori generici e vedi se la loro somma fosse nell'insieme; in genere sono date le caratteristiche dei vettori come gli esempi che mi hai sottoposto.
Infine, controlli che il prodotto di un numero reale per un vettore sia nell'insieme.
Sommi 2 vettori generici e vedi se la loro somma fosse nell'insieme; in genere sono date le caratteristiche dei vettori come gli esempi che mi hai sottoposto.
Infine, controlli che il prodotto di un numero reale per un vettore sia nell'insieme.
grazie di tutto!!!
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