Come completare ad una base
buonasera a tutti,
qualcuno sa dirmi come si svolge questo esercizio?
trovandomi in R4 il mio ragionamento è stato: devo trovare altri 2 vettori che rispettano le condizioni di W (ovvero X2=X3) tali che la combinazione dei 4 vettori sia indipendente, tuttavia quando provo a fare l'eliminazione di Gauss la seconda e la terza riga mi vengono sempre uguali, di conseguenza trovo solo 3 pivot e di conseguenza solo 3 vettori linearmente indipendente, cosa sto sbagliando?
grazia a tutti in anticipo
P.S ho messo l'immagine dell'esercizio in allegato spero funzioni
qualcuno sa dirmi come si svolge questo esercizio?
trovandomi in R4 il mio ragionamento è stato: devo trovare altri 2 vettori che rispettano le condizioni di W (ovvero X2=X3) tali che la combinazione dei 4 vettori sia indipendente, tuttavia quando provo a fare l'eliminazione di Gauss la seconda e la terza riga mi vengono sempre uguali, di conseguenza trovo solo 3 pivot e di conseguenza solo 3 vettori linearmente indipendente, cosa sto sbagliando?
grazia a tutti in anticipo
P.S ho messo l'immagine dell'esercizio in allegato spero funzioni

Risposte
"sofia123":
[...] cosa sto sbagliando? [...]
(W) ha dimensione (3).
ha dimensione 3 perché se lo metto in una matrice e svolgo l'eliminazione di gauss ho 1 colonna 1 pivot e sto in R4 giusto? oppure c'entra il fatto che x2 è uguale a x3 a far si che W abbia dimensione 3?
\( W \) è il nucleo dell'applicazione lineare \( \phi : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} \) di matrice \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \]che ha rango \(1\). Per il teorema del rango \(4 = \text{dim im} \phi + \text{dim ker} \phi = 1 + \text{dim ker} \phi\).
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
\( W \) è il nucleo dell'applicazione lineare \( \phi : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} \) di matrice \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \]che ha rango \(1\). Per il teorema del rango \(4 = \text{dim im} \phi + \text{dim ker} \phi = 1 + \text{dim ker} \phi\).
Non avendo ancora studiato bene le applicazioni lineari, quello che avevo scritto (ovvero che svolgendo l'eliminazione di Gauss su W trovo che ha dimensione 3) si può dire o è sbagliato?
Beh si'... eliminazione di Gauss su un sistema di equazioni con una sola equazione

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Beh si'... eliminazione di Gauss su un sistema di equazioni con una sola equazione
perfetto grazie mille!